Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
V = Vs + Ve+Vu. (20.55)
Здесь образовано такими собственными векторами Fa, собственные значения которых имеют отрицательные действительные части; неустойчивое пространство Vu образовано собственными векторами F с положительными действительными частями; центральное подпространство Vc образовано собственными векторами F, действительные части которых обращаются в нуль. Именно это подпространство является критическим, потому что оно связано с бифуркациями системы (20.53), и его можно локально расширить до многообразия, называемого центральным многообразием.
Если дх — произвольное перемещение из х°, то в окрестности (л:0; с0) уравнения, описывающие динамическую систему, можно представить в более простом виде:
Ьх = bvs + 6vc + буи; 6у# еУ#,
6vs = Gs 6vs, bvc = Gc (6vc) c),
и — Gu u>
где Gs — матрица размером sXs (s = dimFs), a Gu — матрица размером ыХы (« = dimVu), оператор G(6vc\ с) нелинейный. Уравнение (20.54') представляет собой аналог леммы расщепления (2.3) для динамической системы. Вдали от центрального многообразия уравнения динамической системы можно линеари-
(20.54')
206
Глава 20
Рис. 20.29.
В критической точке в пространстве IR4 с двумя чисто мнимыми собственными значе-ниями и двумя действительными собственными значениями (положительным и отрица* тельным) разложение центрального многообразия будет включать двумерное центральное многообразие Vс н два одномерных многообразия Vs>
Рис. 20.30.
Критическая точка в R3 с двумя чисто мнимыми собственными значениями ±f'co н одним отрицательным собственным значением —X имеет разложение центрального устой* чивого многообразия. Если собственные значения сильно различаются по модулю, движение динамической системы содержит либо линейный спуск (Л>со), либо спуск по винтовой линии (со>Х).
зовать. Лишь на центральном многообразии размерности с ^ п должны удерживаться какие-либо члены более высокой степени. Все бифуркации динамической системы в окрестности с0 определяются по оператору Gc (6wc; с). Указанное снижение размерности существенно упрощает исследование бифуркаций, связанных с динамическими системами (20.53).
Попытка показать составные части центрального многообразия для динамической системы в R4, обладающей в критической точке двумя действительными собственными (положительным и отрицательным) и двумя комплексно-сопряженными собственными значениями, нашла отражение на рис. 20.29. Любое перемещение 6х при условии 6vu Ф 0 приведет в конечном итоге к выходу из окрестности критической точки. В связи с тем что в приложениях основной интерес представляют устойчивые критические точки, на рис. 20.30 показано разложение центрального
Уравнения, приводящие к катастрофам
207
устойчивого многообразия для динамической системы в R3, обладающей в критической точке одним отрицательным собственным значением (—X) и двумя чисто мнимыми собственными значениями (±icо). Если со, то состояние системы будет осуществлять «линейный спуск» на центральное многообразие; если Я <С со, то этот спуск будет проходить по винтовой линии. С указанным центральным многообразием связана бифуркация Хопфа.
Типы бифуркаций, которые могут возникнуть в ^-параметрическом семействе /г-мерных динамических систем, можно определить следующим образом:
— найти компоненты бифуркационного множества Fi/(x°; с0) и их различные размерности;
— применить теорему о центральном многообразии в некоторой типичной точке каждой компоненты бифуркационного множества;
— применить вышеописанный метод для определения, какие динамические потоки располагаются вблизи особого структурно неустойчивого потока, параметризуемого точкой с е Фв в бифуркационном множестве.
Было бы желательно разработать перечень канонических отображений G(8vc; с) для динамических систем по аналогии с уже имеющимся списком функций, соответствующих каноническим катастрофам, для вырожденных критических точек.
8. КАРТИНА ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПО РЮЭЛЮ И ТЕЙКЕНСУ
Поведение многих физических систем носит турбулентный характер в результате действия достаточно жесткого толчка. Возникает вопрос, как возбуждается такое поведение и каким образом можно его математически описать.
Один из возможных механизмов возникновения турбулентности, изящный по своей простоте, был предложен Рюэлем и Тей-кенсом. Этот механизм применим в случае нелинейных динамических систем, зависящих лишь от одного управляющего параметра с.
Идея Рюэля и Тейкенса заключается в следующем. Предположим, что в окрестности с — 0 n-мерная динамическая система имеет единственное устойчивое состояние х = 0. При увеличении с решение остается единственным до тех пор, пока не будет достигнуто значение с = си при котором возникает бифуркация Хопфа. При с > Ci решение в точке х = 0 неустойчиво, но вблизи нее располагается предельный цикл Т\ (представляющий собой деформированную окружность), который устойчив. Движение вокруг этого инвариантного множества является периоди*
