Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 73

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 121 >> Следующая


Этот странный аттрактор не является ни двумерной поверхностью, ни спаянным двумерным многообразием. По существу, он представляет собой топологический объект патологической природы. Вместо двух листов, связанных неустойчивыми кривыми, выходящими из начала координат, мы имеем бесконечно много таких листов. Дуга, проходящая через «обложки этой книги» с бесконечным числом листов, пересекает листы по канторовскому множеству.

4. ГИДРОДИНАМИКА.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЯ ЖИДКОСТИ, ПОДОГРЕВАЕМОГО СНИЗУ

При слабом подогревании слоя жидкости снизу (рис. 20.22,а) тепло переносится от нижней поверхности к верхней в результате теплопроводности, причем перенос тепла не сопровождается движением жидкости. При увеличении градиента температуры тепло уже не может достаточно быстро переноситься за счет одной лишь теплопроводности и «на помощь приходит» сама жидкость, т. е. более нагретые слои жидкости начинают перемещаться по направлению к верхней поверхности, а более холодные слои — с верхней поверхности по направлению к нижней. В результате устанавливается упорядоченное циркуляционное движение жидкости (рис. 20.22,6). При дальнейшем увеличении градиента температуры возникает хаос (рис. 20.22, в).

Рис. 20.22.

а — при слабом подогреве перенос тепла осуществляется теплопроводностью; б —при умеренном подогреве тепло переносится в результате упорядоченного конвективного циркуляционного движения; в — при интенсивном подогреве движение жидкости носит хаотический характер.
Уравнения, приводящие к катастрофам

196

Уравнения, описывающие движение нагреваемой жидкости (рис. 20.22), имеют вид

ди. ди. 1 дР

-dT + ui^-=S^Tbt3-T-I7-+ vV и<>

lk + ui-lr=^2T, - (20.39)

'l ди

= 0,

dxt

где Xi есть i-я пространственная координата, ы,- — i-я составляющая поля скоростей, g — ускорение силы тяжести, е — коэффициент теплового расширения жидкости, ДТ/Н — градиент внешнего температурного поля, р — плотность жидкости, Т — поле температуры в жидкости, Р — поле давления в жидкости, v — коэффициент кинематической вязкости, к—коэффициент теплопроводности, t — время.

Исследование этих сложных уравнений может быть выполнено при помощи стандартного метода. Сначала делаются соответствующие физические предположения и проводится аппроксимация с целью максимального упрощения указанных уравнений. В частности, определяются характерные масштабы и осуществляется переход к безразмерным переменным. Затем поле температуры и поле скоростей представляются в виде рядов Фурье с учетом необходимых граничных условий (например, в случае, когда жидкость заключена внутри прямоугольного параллелепипеда). Следующий шаг предусматривает замену произведения тригонометрических функций их суммой при помощи обычных тригонометрических тождеств. Наконец, на основе линейной независимости тригонометрических коэффициентов устанавливается связь между производными по времени от коэффициентов Фурье с нелинейными функциями этих коэффициентов. Короче говоря, весьма трудная задача заменяется другой, не менее трудной задачей.

Возможен и иной подход, который заключается в том, что сначала вводят граничные условия и на основании интуитивных физических соображений предполагают, что движение жидкости происходит в плоскости. Это позволяет существенно упростить систему (20.39):

Шг+4г-й-+*л

(20.40)

где г|> — функция тока (и = V-ф) и Q = T(x,z,t)—Tср, причем между нижней и верхней поверхностями происходит уменьше-

7*
196

Глава 20

ние Тср на величину АТ по линейному закону. Предполагается, что все движение осуществляется в плоскости xz, у = const.

Упрощенные уравнения (20.40) можно исследовать описанным выше методом. Как и прежде, в результате приходим к тому, что весьма трудная задача исследования системы дифференциальных уравнений заменяется не менее трудной алгебраической задачей. Численное исследование системы связанных нелинейных уравнений, которые получаются при таком подходе из (20.40), показывает [6], что независимо от начальных условий все коэффициенты Фурье, связанные с разложениями 0 и г|з, кроме трех из них, быстро стремятся к нулю. Стремление или нестремление к нулю трех ключевых коэффициентов Фурье зависит от величины безразмерного параметра

называемого числом Рэлея1}. Эта бифуркация возникает при критическом значении

где а = Н/1Х и 1Х — ширина контейнера, содержащего жидкость.

Математические операции, связанные с алгебраическими преобразованиями и усечением, обычно некоммутативны. Однако в случае системы (20.40) численные расчеты свидетельствуют

о том, что эти операции оказываются коммутативными, по крайней мере в рассмотренном диапазоне изменения параметров. Такие результаты навели Лоренца на мысль, что, по-видимому, более удобно ввести упрощающие предположения до проведения алгебраических преобразований. Поэтому он сделал предположение, согласно которому структура функции тока и разности температур имеет следующий вид:
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed