Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
191
Рис. 20.20 (Продолжение.)
ляющих параметров о = 10, b — 8/3 и единственный переменный управляющий параметр г. Сводка обсуждавшихся выше бифуркационных свойств модели Лоренца представлена на рис. 20.20.
Проанализируем теперь поведение этих уравнений при увеличении г от нулевого значения. При 0 <С г < г\ == 1 имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Другими словами, любое начальное состояние будет приближаться к началу координат при t-> оо. Когда г становится близким к единице, возникает критическое замедление, а при достижении величиной
192
Глава 20
г значения +1 начало координат теряет устойчивость и ог него ответвляются два морсовских аттрактора Мо, причем оба глобально и локально устойчивы. За исключением одномерного множества точек, каждая точка в пространстве состояний R3 будет приближаться к С или С' при t-*oо. С увеличением г до величины г-г — 1,345 происходит качественное изменение
3 2 I
Mo—>F-XMo, однако оно не влияет ни на локальную, ни на глобальную устойчивость аттракторов С, С.
При увеличении г до значений л? « 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t -> оо [5], при этом аттракторы С, С' перестают быть глобальными аттракторами. Напротив они окружены окрестностями N, N', в которых являются локальными. Точка, исходящая из области, лежащей вне этих окрестностей, может совершать, колебательные движения из окрестности N в окрестность N' и обратно (не в саму точку N или ЛИ), по существу, случайным или беспорядочным образом, пока траектория не войдет в точку N или N'. Затем эта траектория будет завиваться по спирали к С или С' с одной фурье-компонентой частоты. Такое поведение называют метает обильным хаосом. Помимо указанных двух типов поведения существует бесконечно много периодически замкнутых траекторий и бесконечно много неустойчивых турбулентных замкнутых траекторий- Такие траектории имеют меру нуль.
Когда г возрастает, приближаясь к значению л3 24,06, мера N, N' уменьшается, мера множества точек, из которых может начаться метастабильный хаос, возрастает и возникает некоторое критическое замедление. Время пребывания точки в состоянии метастабильного хаоса до захвата ее окрестностями N или N' и вырождения хаоса — увеличивается при г —>г3. В случае г — гг две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, приближаются к неустойчивой замкнутой траектории при /->оо. Когда г, возрастая, достигает значения Гз, множество хаотических отталкивающих центров становится множеством аттракторов. Это множество будет иметь меру нуль, а его область притяжения — положительную меру.
Когда г возрастает, приближаясь к значению « 24,74, неустойчивые предельные циклы Г1 X стягиваются к фокусам FiXMo, так что окрестности N, N' уменьшаются по размерам и мере. Область притяжения хаотического устойчивого аттрактора увеличивается за счет N, N'. При г — л4 возникает инверсия бифуркации Хопфа, при г > г4 остается «странный аттрактор».
Проанализируем случай г > г4, т. е. критические точки С, С' будут типа F + X АЙ- Плоскости, содержащие спиральное
Уравнения, приводящие к катастрофам
193
Рис. 20.21.
Лоренц предложил полезную эвристическую модель странного аттрактора, содержащую поверхность, распадающуюся при достаточно больших г на два листа, как показано на рисунке. Движение динамической системы характеризуется чередованием потоков типа Р+ X на верхнем и нижнем листах, В действительности такая поверхность имеет весьма своеобразную топологическую структуру. Для этой системы управляющий параметр г — 28, а три переменных состояния пересчйтаны в масштабе 10:1 [3].
движение этих фокусов, устойчивы, несмотря на то что само движение по раскручивающейся спирали неустойчиво. Точка в R3 будет притянута по направлению к этим двум плоскостям. Оказавшись вблизи притягивающей плоскости, эта точка будет захвачена «смерчем» и начнет удаляться по спирали от фокуса. Когда в процессе своего движения точка пересечет плоскость у — 0, она начнет притягиваться по направлению к другой плоскости, где находится неустойчивый фокус. Точка системы начинает падать по направлению к этому другому фокусу. Когда она приближается к притягивающей плоскости, то начинает по спирали уходить от фокуса. В результате расстояние от второго фокуса должно стать достаточно большим, так что точка должна снова пересечь плоскость у = 0. Затем точка состояния системы будет притягиваться обратно к центру первого неустойчивого фокуса, и описанное движение повторяется.
Лоренц предложил удобное представление хаотических траекторий, возникающих при г > г4 (рис. 20.21). Траектории динамической системы лежат вблизи тонкой (меры нуль) притягивающей двумерной поверхности. При г < ~ 17 движение происходит на одном листе, а при г > ~ 17 имеем два листа, каждый из которых содержит неустойчивый фокус. Спираль
7 Зак. 811
194
Глава 20
раскручивается (например, против часовой стрелки из точки С) на верхнем листе, пока не пересечет плоскость у = О, откуда она начинает раскручиваться из другого фокуса (С') в противоположном направлении (по часовой стрелке). Раскручивание спирали из этого фокуса продолжается на нижнем листе, пока она не пересечет плоскость у = 0, и с этого момента она переносит свою привязанность обратно к точке С.
