Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
А,-+0“,
A-*-(<x+l), (20.34)
K-* — b.
Таким образом, когда г возрастает до +1. первое из трех собственных значений (20.32) для критической точки (0,0,0) увеличивается до нуля. В этой точке происходит бифуркация типа /4+з, причем две критические точки типа Мо покидают начало координат и их каноническое поведение подчиняется закону квадратного корня (ср. с (20.29)). Указанная бифуркация может быть записана в виде
Мо М\ + 2Ml (20.35)
ООО В 1-параметрическом семействе уравнений, в которых присутствуют бифуркации, связанные с элементарными катастрофами, можно было бы ожидать «бифуркацию» складки типа А2. Однако вместо нее мы обнаруживаем бифуркацию сборки. Это объясняется тем, что вследствие симметрии, присущей уравнениям Лоренца (20.28) (их инвариантность при замене *-> ->—х,у^*—у, z->+z), катастрофа А2 подавляется, т. е. остается единственная катастрофа, которая может возникнуть при обычных условиях,— катастрофа А3.
При дальнейшем возрастании величины г и переходе ею значения +1 новых качественных изменений в критической точке, расположенной в начале координат, не происходит. Два изменения качественного характера возникают для критических точек, соответствующих С, С'. При некотором промежуточном значении г/ два действительных отрицательных собственных значения (20.33) становятся равными. При возрастании г с переходом через значение г/ качественная природа точек С, С' меняется с устойчивого морсовского седла на устойчивый фокус:
Мо-------Mi X 2Mq.
(20.36)
Уравнения, приводящие к катастрофам
189
Тогда, если а > 6 + 1, то при
. а (а + Ь + 3) a — b — 1
(20.37)
действительная часть пары комплексно сопряженных собственных значений проходит через нуль. Критические точки, соответствующие С, С', качественно меняют свой тип с F2- на F2+. Изменение свойства динамической устойчивости в фокусе связано с бифуркацией Хопфа. При г-^г^ имеем инверсию бифуркации Хопфа. Неустойчивые предельные циклы, окружающие точки С, С' в плоскости, содержащей спиральное движение, стягиваются при r-+ri в устойчивые фокусы по стандартному степенному закону (г4 —- г)1/2 и в конце концов пропадают. В краткой форме бифуркацию в г4 можно записать следующим образом:
F- XMo + r'XMi—-f+XMo. (20.38)
При г > гц остаются только три критические точки и все они неустойчивые.
Изучение свойств уравнений Лоренца в зависимости от возрастающего параметра г привело нас на «ничейную территорию» при г > г4. Для исследования проблем, связанных с ничейной территорией, существует проверенный метод, заключающийся в том, чтобы приближаться к той же области «с другой стороны». В соответствии с этим целесообразно исследовать свойства уравнений Лоренца в зависимости от убывающего параметра г. Подобное исследование было выполнено Роббинсом [4]. Результаты этой работы можно сформулировать следующим образом:
— при 1/г = 0 существует устойчивое симметричное периодическое решение;
— это устойчивое симметричное периодическое решение продолжает существовать при малых 1/г, т. е. при достаточно больших г\
— при г = га симметричное периодическое решение теряет свою устойчивость и от него ответвляются два устойчивых асимметричных периодических решения;
— при г = гь < га каждое асимметричное периодическое решение теряет свою устойчивость, и в результате бифуркации рождается пара двухконтурных решений удвоенного периода;
— при г — гс < гь эти решения теряют свою устойчивость и от каждого двухконтурного решения ответвляется пара четырехконтурных решений, период которых равен учетверенному начальному периоду;
— возникает каскад бифуркаций описанного типа. 2"-кон-турные решения теряют свою устойчивость при г = гп и от
190
Глава 20
Устойчивая периодическая орбита
Бифуркация к множест- гп-
Венным (2h) “
петлевым орбитам
Устойчивый периодический режим
Точка на коп-ления
Хаос
Бифуркация Xontpa А2
гъ-
¦ Ж,-7* ' 24,06*
Метастабильный хаос
Расширенные гг-\13,926 инвариантные орбиты
Изолированные глобальные аттракторы: узлы — фокусы бифуркация А+з
Гг -
«/ГС»
Рис. 20.20. Качественные свойства устойчивого аттрактора для уравнения Ло' ренца (20.28) существенно зависят от величины управляющего параметра г [4].
каждого из них ответвляются два устойчивых 2”+1-контурных решения. Дочерние решения имеют периоды, равные удвоенным периодам порождающих решений;
— точки бифуркации сходятся к точке сгущения гх, причем величина гх больше, чем г4;
— ничейная территория «хаоса» отсутствует при г4 < г < г 00-
Уравнения (20.28) подвергались всестороннему изучению многими авторами, начиная с Лоренца, который проинтегрировал их численно, используя фиксированные значения управ-
Уравнения, приводящие к катастрофам
