Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
• Fi{x) = ci — bijxr\-aijkxjxk-f<?(3). (20.246)
Если ограничиться членами второй степени, то можно не выявить сути анализа вынужденных диссипативных систем, однако при этом действительно выявляется нелинейность, достаточно сложная, чтобы занять работой математиков на многие годы. Полезно также предположить, что величина aijkXiXjXk тождественно обращается в нуль, а форма bi/XiXявляется положительно определенной.
186
Глава 20
Можно ввести простой критерий, позволяющий определить, когда динамическая система (20.24) имеет аттрактор. Предположим, что при t = to мы вырезаем из пространства состояний объем V. В течение времени t —10 каждая точка этого объема сместится в новую точку. Можно попытаться выяснить, как будет при этом меняться объем. Для больших интервалов времени такая задача может оказаться не вполне корректной в связи с тем, что новый «объем» окажется очень пористым (канторов-ским множеством), однако для малых промежутков времени поставленная задача корректна. В соответствии со сказанным положим t — to-*-dt. За это время каждая точка V пройдет лишь небольшое расстояние. Следовательно, каждая точка, лежащая внутри V, перейдет в некоторую точку, также лежащую внутри V, за бесконечно малый отрезок времени dt. Изменение формы, а значит, и объема V в течение времени dt обусловлено лишь точками поверхности V. Поэтому изменение объема определяется поверхностным интегралом
V (t0 + dt) — V (to) = <6 dXi/\ dSlt (20.25)
J dV
где dSi — ориентированный элемент поверхности. Таким образом, скорость изменения объема дается выражением dV г dx, г
ЧГ = §дуЧГА dS‘ = Ъ Л dS‘-
(Здесь было использовано динамическое уравнение лг,- = Fi.) Этот поверхностный интеграл связан с дивергенцией векторного поля F
(S) F, Д dS, . ,
г 1 dV i- j • п
lim -ту- ~тг = lim----т-.-----= div/7. (20.26)
y+o V dt о V
В локально декартовой системе координат F = 1,dFi/dxi. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Лиу-вилля. Недиссипативные потоки в классическом фазовом пространстве бездивергентны, вследствие чего элементы объема фазового пространства в случае гамильтоновых потоков
дН . дН
api'
сохраняются (теорема Лиувилля).
Для ограниченного класса нелинейных систем, определяемых формулами (20.24), имеем div Ci = 0 и ankXjXk — 0; поэтому
div F = JL (- Ьих,) =» - bH = - tr b < 0. (20.27)
Уравнения, приводящие к катастрофам
187
Поскольку Ьц — постоянные, мера любого объема растет с течением времени как V(t) = V(0)e~ttTb. Потоки, связанные с (20.246), стягивают объемы к нулю, вследствие чего (20.246) должны иметь притягивающее множество меры нуль.
Уравнения, подробно изучавшиеся Лоренцем, возникают в связи с задачей Бенара и имеют вид
х — — ах + сту, у = гх —у г =
— xz, — bz + ху,
а> 0, г> 0, Ь > 0.
(20.28)
Два нелинейных слагаемых, очевидно, удовлетворяют условию dtjkXiXjXk = 0, а линейные слагаемые — условию положительной определенности (Ьц можно сделать симметричными путем подстановки z-+z' — z— л + ст)- Поскольку величина trft == = — (ст+1+Ь) отрицательна, мера любого малого объема асимптотически приближается к нулю при t-*- °о, даже если объем окажется сильно искаженным.
Динамическая система (20.28) имеет критическую точку (*, у, z) = (0, 0, 0) при всех значениях г. В случае r> 1 она имеет две дополнительные критические точки С, С1 с координатами
С. (*0»
С': (—х0,
Х0, 2?о),
~*oi г0),
z0 = Г — 1, х0 ¦¦
¦ л/Ьг
(20.29)
Других критических точек у этой системы нет.
Свойства устойчивости указанных критических точек могут быть установлены стандартными методами теории линейной устойчивости. Уравнения (20.28), линеаризованные вблизи любой из критических точек, имеют вид
d
~dt
' Ьх ' " --- О о 0 ¦ ' ОХ ¦
ъу = Г ---Z - 1 --- X оу
- 62 - - У х --- b - - OZ -
(20.30)
Для критической точки (0, 0, 0) характеристическое уравнение записывается следующим образом:
(А. + &)[Л2 + (а+ 1)Я + а(1 — г)] = 0. (20.31)
Собственные значения, определяемые этим уравнением, таховы:
^ = -(?г1)-[(^г1)2“ст(1-г)Г- <20-32)
л = —ft.
11/2
188
Глава 20
2 1
Рассматриваемая критическая точка будет типа F~X,Mо при г < г_1 = 1 —а-‘(а+ 1) 2/4, типа Мо при г-\ ^ г < 1 и типа М\ при г > 1.
Характеристическое уравнение, соответствующее критическим точкам С, С', имеет вид
А3 + (<т + й+ l)l2 + (r + o)bl + 2bo(r- 1) = 0. (20.33)
При г | 1+ три собственных значения, определяемые (20.33), имеют следующие пределы:
