Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
183
В
Z
(
V.
г
а
Рис. 20.17. Трехмерные истоки, для которых справедливо соотношение
а — предельный цикл гладкий; б —предельный цикл соответствует релаксационным колебаниям. Эти потоки представляют собой предельные циклы в плоскости (г, г) и существуют на устойчивом предельном торе, причем возможно их замыкание на себя.
во вращательное движение вокруг оси г во время скачка с одного листа на другой (винтовой подъем или спуск).
Динамическая система, представленная уравнениями (20.22), может быть названа спиральным хаотическим аттрактором. Очевидно, спиральное движение возникает на поверхностях вращения ВС и DE. Угол 0 (по модулю 2л), при котором происходят внезапные изменения координаты г (-у/со 1), может оказаться случайной величиной. В предельном случае -у/со С 1 поведение можно назвать спирально-винтовым хаосом. Такое поведение не является хаотическим. Увеличение угловой координаты во время спирального движения и линейного либо винтового подъема или спуска инвариантно относительно процесса вращения, поэтому «хаос» связан с последовательностью nAGmod 2it, п = 1, 2, ..., где величина Д0 очень велика. Можно получить лучшее приближение к хаосу путем деформирования поверхности 0 = л — F(z)-*-f(x,y,z) = 0 таким образом, что она уже не будет поверхностью вращения.
Рёсслером была изучена простая динамическая система х = F(x; с), х е R3, с е R3, в которой проявляется спиральный хаос [2]. Уравнения этой динамической системы имеют вид
0 = о) = const.
x = — y—z, у = х + ау, z = b + xz — cz.
(20.23)
184
Глава 20
Поток, соответствующий динамической системе (20.23), был рассчитан Рёсслером для разных значений управляющих параметров (а, Ь, с). Один из таких потоков представлен здесь в стереоскопическом изображении [2]. (Сводя глаза, добейтесь, чтобы обе части рисунка расположились одна над другой, затем примите аспирин.)
/1 У У
г /
(§)
/с*
) /
Рис. 20.19.
Если динамическая система имеет только две изолированные критические точки типа F^. X М0, поток может переводить систему из одного состояния в другое между окрестностями двух критических точек «хаотическим» образом.
По-видимому, это будет простейшая из динамических систем, обладающих таким типом поведения, который не встречался у двумерных динамических систем, поскольку п = 3 и в связи с тем, что она содержит лишь один нелинейный член второй степени. Указанная система дает несколько бифуркаций при изменении управляющих параметров (a, b, с)е R3. Стереоскопическое изображение траектории этой динамической системы в фазовом пространстве (x,y,z) воспроизведено на рис. 20.18. Видны раскручивающаяся спираль на нижнем листе и закручивающаяся спираль на верхнем листе. (Четко виден также линейный спуск, а о том, как выглядит линейный подъем, можно догадаться.)
Уравнения, приводящие к катастрофам
185
3.2. Аттрактор Лоренца
Проанализируем поведение системы в случае двух потоков локального типа F\ -(- Мо в R3 и попытаемся установить, насколько причудливым оно может оказаться. Для этого восполь-
2 1
зуемся рис. 20.19: здесь один поток типа F+X^о помещен в точку (х, у, г) = (*о, уо, 0), плоскость (х, у, 2 = 0) является притягивающей, а спиральное движение в этой плоскости — отталкивающим. Другой поток помещен в точку (0, г/о, —*о) плоскости (у, г, * = 0) и является локально притягивающим в окрестности этой точки, а спиральное движение в указанной плоскости является раскручивающимся. Относительно нелокального поведения таких потоков вдали от упомянутых двух критических точек ничего сказать нельзя.
Состояние системы, первоначально соответствующее точке (jto, уо, г), будет изменяться по раскручивающейся спирали, оставаясь вблизи плоскости z = 0 до тех пор, пока оно не окажется на достаточно большом расстоянии от первой критической точки. Тогда становится ощутимым влияние плоскости х = 0, которая является притягивающей вблизи второй критической точки. Когда состояние системы окажется достаточно близким к этой плоскости, оно начнет раскручиваться по спирали, пока не уйдет достаточно далеко от второй критической точки, после чего начнет притягиваться к локально притягивающей плоскости 2 = 0, содержащей первый неустойчивый фокус. Затем процесс повторяется. Поведение системы можно сравнить с поведением мячика для настольного тенниса — она «мечется» меж-
2 1
ду окрестностями двух критических точек типа F+ X Мо. причем такое движение может оказаться хаотическим.
Странный аттрактор подобного типа был подробно исследован Лоренцем [3], которого, в частности, интересовало поведение динамических систем
Xi = Fi{x), (20.24а)
совершающих вынужденное диссипативное движение. Для исследования таких систем может быть использовано разложение в ряд Тейлора действующей силы Fi(x) вблизи точки
