Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
*-»—х, t/->—у. Эта симметрия нарушается, если fT(r) содержит члены с четными степенями г.
Таким образом, достаточно общая деформация динамической системы (19.34) имеет вид
Рассмотрим сначала 1-параметрические семейства динамических систем, в которых действительная часть собственного значения проходит через нуль с ненулевой скоростью: дК(с)/дс ф О при А(с) = 0. В этом случае в силу теоремы о неявной функции X можно выбрать в качестве управляющего параметра. При X = О А, вообще говоря, отлично от нуля (для 1-парамет-рического семейства), поэтому в ряде Тейлора (19.37) можно опустить члены после г3. Далее, вводя новый радиальный масштаб (г \А [~'1гг/), получим следующий канонический вид деформированной системы:
В такой системе зависимость Q(t) тривиальна: Q(t) = 0О+' + сo't, и именно радиальное уравнение ответственно за появление качественно новых решений.
Рассмотрим теперь стационарные значения г для данной динамической системы в случае
Очевидно, что г = 0 всегда является стационарным значением. Это есть точка притяжения (устойчивая) при К < 0 и точка отталкивания (неустойчивая) при к > 0. При К < 0 других стационарных точек нет. При X > 0 имеется устойчивый предельный цикл с радиусом г — л/k. В тот момент, когда действительная часть собственных значений А±, возрастая, проходит через нуль, устойчивый фокус вначале теряет устойчивость и становится неустойчивым, выпуская устойчивую круговую притягивающую орбиту, радиус которой возрастает по каноническому закону -\/А-Это явление называют суперкритической би-
= Xr + Аг3 + Вг5+ ..
(19.37)
dt
/
(19.38)
(19.39 -)
Автономные динамические системы
159
фуркацией Хопфа. Фазовый портрет такой бифуркации показан на рис. 19.18.
Для динамической системы в случае
точка г — О всегда является равновесной. Опять-таки она устойчива при Я < 0 и неустойчива при Я > 0. При к <_0_ имеется неустойчивый предельный цикл с радиусом г — д/ — Я. Если % подходит к нулю снизу, отталкивающее множество наползает вниз на устойчивый фокус в начале координат и, наконец, полностью «вытесняет» его при % — 0. Это явление называется субкритической бифуркацией Хопфа. Фазовый портрет этой бифуркации показан на рис. 19.19.
ООО Динамическую систему (19.35) невозможно получить из вариационного принципа для какого-либо функционала, поскольку F ф 0. Если, однако, пренебречь тривиальной постоянной зависимостью 0(0. т0 одномерное радиальное уравнение можно записать в виде градиентного уравнения
В этом смысле бифуркации Хопфа эквивалентны симметризо-ванным С<4±з) фазовым переходам Гинзбурга — Ландау «в направлении г».
Если двумерная динамическая система зависит от k > 1 управляющих параметров, то наиболее общая деформация в окрестности бифуркационного множества Я = 0, со' ф 0 имеет вид
Очевидно, что радиальное уравнение связано с симметрической катастрофой Л+(2б + о-
ООО Часть сепаратрисы Fij имеет компоненты раз-
мерности п2 — 1 и ниже. Поэтому изолированные элементы 1-па-раметрических семейств гс-мерных динамических систем могут обладать двумя равными ненулевыми собственными значениями структурно устойчивым образом. Аналогично бифуркационное множество имеет компоненты размерности п2—1
и ниже. Поэтому изолированные элементы 1-параметрических
(19.39+)
V(r\ *,).= —1 л,--t- — ,- ^ супер j критическая. (19.40)
к
(19.41)
160
Глава 19
Рис. 19.18. Суперкритическая бифуркация Хопфа.
При X < 0 начало координат есть устойчивый фокус, и спираль закручивается. С ростом X спираль становится все ближе и ближе к окружности. При X — 0 точка становится структурно неустойчивым центром. Прн дальнейшем увеличении X начало координат становится неустойчивым фокусом, и спираль раскручивается. Однако в предельном случае бесконечно удаленного поля спираль по-прежнему закручивается к началу координат. Сепаратрисой устойчивых и неустойчивых фокусов является предельный цикл, который структурно и динамически устойчив.
Рис. 19.19. Субкритическая бифуркация Хопфа.
При X < 0 начало координат является устойчивым фокусом. В предельном случае бес* конечно удаленного поля поведение динамической системы неустойчиво, и спираль раскручивается в бесконечность. Устойчивая область вокруг начала координат и неустойчивая область, содержащая «бесконечно удаленную точку», разделяются сепаратрисой — структурно устойчивым и динамически неустойчивым предельным циклом. При возрастании X предельный цикл «оседает» на точку притяжения в начале координат и, наконец, уничтожает ее прн X в 0. Начало координат при этом переходит в структурно неустойчивый центр, а при X > 0 — в точку отталкивания (неустойчивый фокус).
