Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
dx
152
Глава 19
где коэффициенты т« удовлетворяют уравнению
АС + 2Вт + т2 = 0. (19.25)
Если и т2 действительны и не равны или образуют комплексно сопряженную пару, то состояние системы структурно устойчиво; если т\ — т2, то состояние системы структурно неустойчиво.
В каждом случае легко определить кривые dxi/dt = 0 и соответствующие фазовые портреты. Когда mt и т2 действительны и различны (рис. 19.12,а), получающийся фазовый портрет напоминает фазовые портреты седла и устойчивого узла (рис. 19.13) при исчезающе малом возмущении. Аналогичная ситуация имеет место при т.\ = т2 (рис. 19.12,6). В случае комплексных собственных значений фазовый портрет по-прежнему напоминает портрет пары седло — узел при исчезающе малом возмущении, отличаясь лишь тем, что в данном случае отсутствует равновесие в начале координат.
Основываясь на материале, изложенном в гл. 4, можно ожидать, что деформация наиболее общего вида для каждого уравнения для dxi/dt будет включать члены, порядок которых не превосходит порядка членов минимальной степени, удерживаемых в структурно неустойчивой системе. Таким образом, систему (19.23) можно было бы деформировать следующим образом:
= а + (^i + 6FU) х + бFl2y,
JJL = ъ + б F2lx + bF^y + (А + ЬА) х2 + (19-26>
+ 2(В + бВ)хг/ + (С + бС)г/2,
где a, b, 6Ft/, бА, б В и б С достаточно малы. Ясно, что эта деформация слишком сложна и работать с ней неудобно, поэтому попытаемся ее несколько упростить.
1. Поскольку исходная (2 X 2)-матрица Fij имела два раз-
личных собственных значения Ai ф 0 и %2 = 0, собственные значения возмущенной матрицы Fa + б Fij будут действительны и различны: о* Ai и К2 — величина первого порядка малости.
2. Поскольку матрица Fij + б/7,-/ имеет различные собственные значения, то ее можно привести к диагональному виду с помощью линейного преобразования.
3. Это преобразование лишь незначительно изменяет коэффициенты А -f 6А, ... при квадратичных членах. Поэтому параметры mt и т2 также мало меняются: mi->mi, т2-+т2. В двух структурно устойчивых случаях (mi ф т2) это изменение несущественно.
4. При сдвиге начала координат можно избавиться от а, но не от Ьь
Автономные динамические системы
153
сопряженная пара
а В g
Рис. 19.12. Фазовый портрет динамической системы (19.25).
а — т, > т2 > 0; б — т\ = т2 > 0; в — ть тг — комплексные числа, Re mi > 0. Во всех этих ситуациях предельный случай бесконечно удаленного поля напоминает фазовый портрет седло-узла; Si, s* — сепаратрисы.
Рис. 19.13. Фазовый портрет седло-узла легко строится по известным фазовым портретам седла и узла.
В результате наиболее общая деформация для динамической системы (19.24) при т\Фт2 может быть представлена как
<19-27>
dt
¦ b + 2cy + (y — mix) (у — т2х),
где числа b и с малы и могут рассматриваться как управления для данной динамической системы. Критическими точками для деформированной системы являются
(х,у)е: (0 ,уг),
(О, У2), 1 '
где ординаты критических точек удовлетворяют уравнению
у2 + 2су + Ь = 0. (19.29)
154
Глава 19
Рис. 19.14, Зависимость равновесных значений ординаты у от параметра с при трех значениях параметра 6.
Эти параметры входят в универсальную деформацию (19.28) вырожденной динамической системы (19.25). Свойства устойчивости вдоль каждой ветви можно определить лнбо локальным линейным анализом устойчивости (например, (19.32)), либо анализом соответствующей равновесной поверхности, показанной на рис. 19.15.
На рис. 19.14 показаны траектории ус(с) для трех значений b (Ь = 1,0,—1). С помощью стандартного анализа устойчивости можно выяснить свойства динамической устойчивости в каждой из изолированных критических точек. Проделаем это для b — 0. В этом случае две критические точки имеют следующие координаты:
1. (лг, = 0, уI =0),
2.U-0, *—*). (19'30,
Линеаризованное уравнение движения в критической точке (1) имеет вид
_d_
dt
Г Ьх 1 Г Я! 0 1 Г 6* 1
LHo 2cJL«J ДЛ" = 09.31)
Автономные динамические системы
155
Рис. 19.15. Равновесные значения г/ для системы (19.28) описывают двумерную поверхность в пространстве Rf ® R2 = (у; Ь, с).
Ь, с — два управляющих параметра, входящих в универсальную деформацию (19.25). Точки над кривой складки соответствуют седлам, а под этой кривой — устойчивым узлам.
Эта критическая точка имеет сигнатуру' (—, —) при с<0 и (—, +) при с > 0, и, следовательно, она является устойчивым узлом при с < 0 и седлом при с > 0. Линеаризованные уравнения движения для другой критической точки имеют вид