Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Автономные динамические системы
147
Между этими связными открытыми множествами в R'1’ —
— (^aU^ft) и качественно различными распределениями собственных значений («X л)-матрицы в комплексной области имеется взаимно-однозначное соответствие при условии, что определенным образом учитываются направления движения вокруг каждого фокуса. Диаграммный метод определения геометрии системы в R"2 предусматривает перечисление всех возможных качественно различных распределений собственных значений действительной {п X п) -матрицы в комплексной области. Все собственные значения должны быть различными и иметь ненулевые действительные части; кроме того, предполагается, что каждому распределению соответствует одно связное открытое множество в R" и что объединение открытых множеств есть Rn — {Уа U РьУ, ЭТО множество плотно в R" .
Для иллюстрации диаграммного метода вернемся еще раз к случаю п — 2 (пример 1) и проанализируем случай п = 3 (пример 2).
Пример 1. Выяснить геометрические свойства (2 X 2)-матрицы устойчивости Fu.
Решение. Под геометрией и геометрией матриц устойчивости мы понимаем одно и то же. Действительная (2 X 2)-матрица имеет два собственных значения, которые могут быть действительными или комплексно сопряженными. В первом случае собственные значения могут быть расположены следующим образом: оба слева от нуля, по разные стороны от нуля, оба справа от нуля. Во втором случае пара собственных значений может лежать либо в левой, либо в правой полуплоскости. Далее вращение вокруг фокуса может быть либо в положительном, либо в отрицательном направлении. Пять различных распределений собственных значений, дополненных информацией о направлении вращения, показаны на рис. 19.7. Каждой диаграмме соответствует некоторое открытое связное множество в R4: всего имеется семь открытых связных множеств в R4, и каждое из них параметризует линеаризованную динамическую систему с качественно отличным от других характером поведения.
Пример 2. Выяснить геометрические свойства матриц устойчивости размером зхз.
Решение. Все три собственных значения могут быть действительными, или одно из них действительное и пара комплексно сопряженных. Все качественно различные распределения собственных значений показаны на рис. 19.8, при этом для фокусов показана возможность существования двух различных направлений потока. Всего имеется 16(= 4 + 2-6) открытых связных множеств, из которых только пять параметризуют динамически устойчивые системы.
В комбинации с методом стягивания диаграммный метод может быть использован для определения того, какие множества являются соприкасающимися, а какие нет. Другими словами, два открытых множества соприкасаются, если они имеют общее распределение вырожденных собственных значений.
Пример 3. Определить, какие открытые множества в R9, описывающие устойчивые системы, соприкасаются с открытым множеством, имеющим три действительных отрицательных собственных значения.
148
Глава 19
Сп-,п+) (2,0) (1,1) (0,2)
1т
—-------------Re —.------ ------------------------—
• + •+
>
• ' •
• --- г • ---
• •
Рис. 19.7. Два действительных корня могут располагаться в двух полуплоскостях тремя разными способами.
Комплексно сопряженная пара может располагаться в одной из полуплоскостей. Такая пара описывает фокус с положительным или отрицательным направлением движения.
(п-,п+)
(3,0)
(2,1)
0,2)
(0,3)
.+
• ?
• ±
Рис. 19.8. Десять различных возможных расположений собственных значений действительной (3 X 3)-матрицы.
С учетом направлений движения вокруг фокусов для линеаризованной трехмерной динамической системы возможны 16 качественно различных типов поведения.
Решение. Граница открытого множества (рис. 19.9) определяется равенством Sa = 0 (19.12а). Три различных собственных значения стягиваются -к вырожденному случаю всеми возможными способами. Все другие открытые
Автономные динамические системы
149
---------
Рис. 19.9. Диаграммы, которые можно «ужать» до одной и той же вырожденной диаграммы, представляют смежные открытые области в пространстве R п ¦ Все пять указанных устойчивых и качественно различных трехмерных систем смежные.
Не 5/гизхо —%-
Рис. 19.10.
а — три структурно устойчивые системы соприкасаются между собой через общую ком* поненту сепаратрисы, параметризующую систему с трехкратно вырожденным отрицательным собственным значением; б —многие открытые множества не являются смежными С вырожденной диаграммой (показано одно из них).
множества с одинаковыми стягиваниями соприкасаются и имеют общую указанную компоненту сепаратрисы.
Пример 4. Для (5X5)-матриц устойчивости указать открытые множества, соприкасающиеся по компоненте сепаратрисы, параметризующей матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями и парой комплексно сопряженных собственных значений, лежащей в правой полу* плоскости. ......
