Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 56

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 121 >> Следующая


Для двумерной динамической системы, описываемой функцией вида (19.8), положим

ы2 = г2 + s2, со Ф 0, А = 0,

(19.17)

1f = Fi (х) + б Fi (x) = Fijxi + б Ftlx, + О (2). (19.18)

^L = (F + 6F)t,x,.

(19.19)

6Х + бг 6s + бсо бs — бсо 6Х — б г

]

(19.20)

Разность «возмущенных» собственных значений равна

К+ - XL = 2 Уr/2 + s'3 - со'2, (19.21)
144

Глава 19

где /•' = /• + Ьг и т. д. Эта разность есть действительная величина, если точка (со', г', s') лежит вне конуса, и чисто мнимая, если точка лежит внутри конуса.

Предположим, что система уравнений (19.19) зависит от k управляющих параметров с. Тогда координаты (а, со, г, s) зависят от с. В случае k = \ кривая (К(с), со (с), г (с), s(c)) eR4 может пересечь конус r2 + s2— со2 = 0, со ФО, Кф 0 при структурно устойчивом изменении с. Эта кривая может проходить как снаружи конуса внутрь, так и наоборот, при этом собственные значения F в «процессе рассеяния» изменяются от пары различных действительных чисел к комплексно сопряженной паре (рис. 19.5).

Если k ^ 3, то путь в R4 не может проходить через вершину конуса и со = О, К ф 0; если k ^ 3, то кривую, проходящую через вершину конуса, можно аппроксимировать отрезком прямой. Этот отрезок может либо проходить из конуса наружу, либо целиком лежать вне конуса, за исключением единственной точки пересечения в его вершине. В этом случае получаем «лобовые столкновения» собственных значений (рис. 19.6).

Когда мы имеем дело с градиентной, а не с динамической системой, и == бсо = 0 и путь в подпространстве со = 0 пространства R4 может пройти через вершину конуса r = s = 0, Я =5^0 при структурно устойчивой деформации, если k^2. Тогда «лобовые столкновения» собственных значений происходят так, как показано на рис. 19.6,6.

Вместо «управляемых» путей в R4 рассмотрим возмущения (или деформации) бF, которые являются «изотропными» в том смысле, что функция распределения вероятностей для бF имеет вид

Р (6Я, бсо, б г, 6s) = f (6Л, (бсо)2 + (б г)2 + (6s)2). (19.22)

1. Для 1-параметрического семейства двумерной динамической системы возможно существование изолированных элементов с дважды вырожденными собственными значениями. Деформация такой системы, представимой точкой конуса г2 + s2 —

— со2 = 0, афО, %Ф 0, вызванная случайным возмущением бF с функцией распределения (19.22), приведет к динамической системе с различными действительными собственными значениями (с вероятностью 1/2) и^комплексно сопряженными собственными значениями (также с вероятностью 1/2). Возмущения, оставляющие собственные значения равными, имеют меру нуль.

2. Два равных ненулевых собственных значения с со = 0 впервые встречаются в 3-параметрических семействах двумерных динамических систем. В этом случае деформация с функцией распределения вероятностей вида (19.22) приводит к динамической системе с комплексными собственными значениями
Автономные динамические системы

145

<0

Рис. 19.5. Одномерная кривая пространства R4 может структурно устойчивым образом пересекать трехмерную поверхность ш2 = г2 + s2 в изолированных точках. При пересечении этой поверхности два собственных значения «отталкивают друг друга» под прямым углом.

а б

Рис. 19.6. При прохождении кривой управляющих параметров в пространстве через вершину конуса два собственных значения «отталкивают друг друга» как при «лобовом столкновении».

с вероятностью (1—cos я/4) = 1 — l/д/2 и различными действительными собственными значениями с вероятностью 1 /д/2?

3. В случае градиентных систем вырожденность типа равенства собственных значений впервые встречается в 2-параметри«
146

Глава 19

ческих семействах. Деформации таких систем приводят к динамическим системам с различными действительными собственными значениями с вероятностью 1.

3.2. п> 2

В случае п > 2 для четкого визуального, геометрического представления свойств линеаризованной матрицы устойчивости Fij и для выяснения, каким образом различные подмножества из R", параметризующие матрицу F,•/ с различными типами вырожденное™, соединяются друг с другом, требуются иные методы, чем в случае п > 1. Один из таких методов, родственный «диаграммному» методу (гл. 7), излагается ниже. Этот метод может быть применен для определения числа существующих открытых связных подмножеств из Rrt, параметризующих структурно устойчивые линеаризованные матрицы устойчивости. Кроме того, его можно использовать совместно с «методом стягивания» для определения спектра «присоединений» или «смежностей» открытых множеств, т. е. для выявления «близких» между собой открытых множеств («близкие» означает «имеющие общее пограничное множество»). Комбинация этих методов с методами, изложенными в гл. 14, оказывается полезной при определении структуры сепаратрисы в пространстве R" .

Отметим прежде всего, что, сколь бы ни было велико п, все п собственных значений действительной линеаризованной (ti X X м)-матрицы устойчивости F можно расположить в комплексной плоскости С.1 = R2. Каждая точка пространства R" единственным образом определяет Fij (и наоборот), и каждая Fij единственным образом определяет распределение собственных значений на этой плоскости (но не наоборот). Предположим, что некоторая точка ре R"’определяет (п X п)-матрицу Fij(p) и что Fij(p) имеет различные собственные значения, причем все с ненулевыми действительными частями. Тогда все точки, достаточно близкие к р, определяют (п Хп)-матрицы Fu(p) 8Fn; все собственные значения этих матриц различны и имеют ненулевые действительные части (т. е. при такой деформации ни одно из собственных значений не пересекает ось мнимых чисел). По этой причине множество точек пространства R", параметризующих матрицы Fa, для которых (см. (19.12)) Sa Ф 0, БьФ 0, открыто и плотно в Rn\ а соответствующие матрицы структурно устойчивы и образуют плотное подмножество в множестве действительных (я X п) -матриц. Это открытое множество в R" есть
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed