Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
1. Два собственных значения или более Л-i, %2, Хп могут быть равными. Эту часть Я’а сепаратрисы можно найти аналитически из выражения
def JL.
Sa= П (Л/-Л,) = 0. (19.12а)
1>1 =1
2. Действительная часть одного (или нескольких) собственного значения может быть равна нулю. Эту часть сепаратрисы Я’ ь можно найти аналитически из выражения
def " Л. (X, + Я/)
5Ь = П(КеЯ‘) = П 2 =°- (19Л2б>
/-1 <=1
Структурно устойчивые открытые области в R"’ характеризуются условиями Sa Ф 0, Sb ф 0. Для открытых областей, описывающих динамически устойчивые системы, имеют место неравенства
Re^-CO, 1=1, 2,..., л. (19.13)
В точках на компонентах сепаратрисы ЗРц, в которых Sa =
= 0, Sb Ф 0, не происходит никаких изменений динамической
устойчивости. Эти точки из R" определяют структурно неустойчивые, но невырожденные динамические системы. В окрестности любой точки этой компоненты сепаратрисы имеются точки, описывающие изолированные критические точки качественно различных типов, но с одинаковой инерцией (рис. 18.1).
Изменения динамической устойчивости связаны с компонентами сепаратрисы 9>ъ, для которых Sb = 0, Sa Ф 0. Эти точки определяют в Rn’ структурно неустойчивые вырожденные динамические системы. Вырожденность критических точек связана с ответвлением новых решений от старых, поэтому компоненты сепаратрисы, определяемые равенством St = 0 (19.12), называют бифуркационным множеством матрицы Fy.
142
Глава 19
Свойства точек пространства R" , определенные алгебраическими условиями (19.12), перечислены в следующей таблице:
Sh?- о
О
sfl = o
R"'—(^U^): структурная &ь: вырожденные критические устойчивость точки, бифуркационное
точки, множество
& : изолированные критиче- вырожденные крити-
ские точки; равные соб- ческие точки с равными
ственные значения; отсут- собственными значениями;
ствие бифуркаций наличие бифуркаций
ООО Компоненты 9ь бифуркационного множества динамических систем аналогичны компонентам градиентных систем. В обоих случаях точки бифуркационного множества описывают системы с вырожденными критическими точками. Компоненты 9*а для динамических систем — аналоги максвелловского множества, т. е. множества точек в пространстве управляющих параметров градиентных систем, описывающих структурно неустойчивые потенциальные функции, для которых критические значения в двух или более критических точках совпадают.
Эти общие замечания можно использовать для упрощения описания сепаратрисы в пространстве R4 матрицы устойчивости двумерных динамических систем. Множество 9а, описывающее изолированные, структурно неустойчивые критические точки, определяется соотношениями
Sa — (А,+ — Х_) = 0 =*> ш2 — г2 — s2 — О,
**0 - л*о. <иш>
Точки из 9а отвечают динамическим системам с двумя равными ненулевыми собственными значениями. Деформация таких систем приводит к динамической системе с различными действительными собственными значениями.
Бифуркационное множество 9ъ определяется из (19.12). В случае действительных собственных значений (г2 -f- s2 — ш2 > >¦ 0) выражение (19.126) сводится к
X+l_=0=>X2 + a2 = r2-\-s2, (19.15)
в случае комплексных собственных значений (г2 + s2 — со2 < < выражение (19.126) принимает вид
(R,e А,+) (Re Х_) — X2 = Q => 'л = 0. (19.16)
Автономные динамические системы
143
Каждое из соотношений (19.14) — (19.16) содержит уравнение, связывающее четыре действительных параметра (А,, (о, г, s). В результате в 1-параметрическом семействе двумерной динамической системы Fij(c) можно столкнуться с трехмерными компонентами сепаратрисы, определяемыми соотношениями (19.14)— (19.16) при структурно устойчивых вариациях управляющего параметра. Однако невозможно встретиться с двумерной компонентой Фа П ЗРъ, определяемой равенством
изменяя параметр структурно устойчивым образом, если только Fij(c) не зависит от двух или более управляющих параметров.
В соответствии с «принципом лома» целесообразно исследовать деформации таких динамических систем, которые параметризуются точками на сепаратрисе, определяемой соотношениями
(19.12). Перейдем к рассмотрению этой задачи.
Возмущения при равных ненулевых собственных значениях
Динамическая система с двумя равными ненулевыми собственными значениями структурно неустойчива по отношению к возмущениям. Двумерной динамической системе, обладающей этим свойством, отвечает точка конуса (о2 — г2 — s2 = О, X ф 0. Наиболее общая деформация такой динамической системы, оставляющая на месте изолированные критические точки, имеет вид
Собственные значения матрицы Fi/ имеют ненулевые действительные части, поэтому при достаточно малых возмущениях бF аналогичным свойством будут обладать и собственные значения возмущенной матрицы устойчивости (f+Sf);/. В результате локальные свойства возмущенной системы можно определить, изучая линеаризованную систему
