Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 53

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 121 >> Следующая


«Принцип лома» предполагает тщательный анализ различных компонент сепаратрисы в Rn • В связи с этим такой анализ проводится для случая п — 2 и рассматриваются деформации неветвящейся части сепаратрисы.

Изучаются компоненты бифуркационного множества, на котором одно или два собственных значения проходят через нуль. Соответствующая «дважды вырожденная» критическая точка называется седло-узлом. Одномерная морсификация седло-узла является аналогом катастрофы складки; двумерная морсификация может привести к «обмену устойчивостью».

Исследуются компоненты бифуркационного множества, на которых действительные части комплексно сопряженных собственных значений равны нулю. Соответствующие вырожденные критические точки называются вихрями или центрами. Одномерная морсификация центра приводит к бифуркации Хопфа. Бифуркации Хопфа, зависящие от k управляющих параметров, тесно связаны с симметризованными катастрофами типа A±^k+о-

1. ПРИВЕДЕНИЕ К ГРАДИЕНТНОЙ ФОРМЕ

Многие автономные (т. е не зависящие от времени) системы нелинейных дифференциальных уравнений можно записать как градиентные системы. Однако для расширенного класса дина-Г,щческих систем так поступить нельзя, так как уравнения двц-
Автономные динамические системы

135

жения должны явно включать компоненты действующей силы Fi(x\c), которые в общем случае вовсе не связаны ни с каким потенциалом:

^- = Fdx\c). (19.1)

Поскольку эта система уравнений имеет более общий вид, чем соответствующая градиентная система (где F = —VF), поведение такой системы может быть гораздо более разнообразным.

Градиентные системы по своей сути гораздо легче поддаются анализу, чем динамические системы, поэтому имеет смысл ввести некий критерий, согласно которому некоторая динамическая система действительно является градиентной. Для градиентной системы

и, следовательно,

dF. d2V d2V dF,

p. _____L_____________=___________-_____L—F,-

dx. dx/dx, dx.dx. dx. I1'

I I 1 * / <

Таким образом, для градиентных систем обобщенный вихрь поля F, определяемый как —W, равен нулю:

dF, dF,

(го1?)„-^-^-~0. (19.3)

И наоборот, если все п(п—1) /2 независимых компонент rot Р динамической системы обращаются в нуль, то эта система является градиентной.

Пример 1. Динамическая система

1Г = 2ху' 1м- = №г-Уг (19.4)

является градиентной тогда и только тогда, когда ц = 1, поскольку

2х = 2цх

(19.5)

При ц = 1 соответствующая потенциальная функция является ростком катастрофы D4: — V(x, у) = х2у — -g-i/3.
136

Глава 19

2. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ

2.1. F Ф О

Качественное описание автономных динамических систем можно получить практически точно так же, как и градиентных систем. В основном все сводится к построению фазовых портретов. Поскольку получение последних не вызывает никаких трудностей в случае двумерных (п = 2) динамических систем, ограничимся в основном рассмотрением систем второго порядка. Анализ таких систем включает описание фазовых портретов, классификацию типов равновесия, исследование вырожденных точек равновесия и изучение деформации системы в окрестности вырожденной точки равновесия.

Описание фазового портрета, по существу, сводится к определению для каждой точки плоскости (х, у) направления действующей силы F(x,y), а следовательно, и направления потока (dx/di, dy/dt). Полная картина получается соединением стрелок, указывающих направления линии в отдельных точках, в непрерывно направленные линии.

Особенно информативными являются фазовые портреты структурно устойчивых динамических систем. Система считается структурно устойчивой, если возмущение системы (19.1) не вносит качественных изменений в число, положение и характер точек пересечения кривых F, = 0 (рис. 19.1). Для структурно устойчивой динамической системы кривые F\ = 0 и F2 = 0 делят плоскость на области с чередующимися знаками производных dx/dt и dy/dt. Такое разбиение служит удобным каркасом, на котором можно построить глобальную картину поведения всей динамической системы. Эта идея иллюстрируется на рис. 19.2, где показана часть плоскости R2. Предполагается, что в этой области уравнение Fi (х, у) = 0 имеет два решения и что F2(x, у) = 0 также имеет два решения. Эти четыре «гиперплоскости» делят указанную часть плоскости на девять открытых областей. Если хотя бы в одной из этих областей известны знаки (F1, F2), то их можно определить и для всех остальных открытых областей. Если знаки (Fi, F2) такие же, как показано в верхней левой области, то можно установить направления потоков в остальных восьми областях и на четырех кривых Ft = 0. После того как это сделано, глобальное поведение динамической системы легко определяется «следованием по стрелкам». В динамической системе, фазовый портрет которой изображен на рис. 19.2, имеются один ивток, один сток и две точки равновесия, в окрестностях которых наблюдается «спиральное поведение».
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed