Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ООО Неодносвязное множество решений, изображенное на рис. 18.14, а, можно связать с катастрофой Л+3, а множество, показанное на рис. 18.14,6, не может быть связано ни с одной катастрофой порядка, меньшего, чем Л5.
В случае, когда множество решений несвязное, несвязные области можно найти с помощью алгоритма прогонки по еле-1 дующей схеме:
— добавить к функции некоторое возмущение или изменить значения управляющих параметров, входящих в функцию. Это следует делать «адиабатически», стараясь сохранить состояние равновесия во время действия возмущения;
— при заданном возмущении «прогнать» систему вдоль множества решений, изменяя параметр s. Если топология нового множества решений отличается от топологии исходного множества решений, то посредством введения возмущения несвязные решения можно «присоединить» к исходному решению;
— найти значение параметра s, при котором число решений возмущенной и невозмущенной систем уравнения W = 0 различно;
— «адиабатически» удалить возмущение, отслеживая изменения всех равновесий (при фиксированном s) при удалении возмущений;
— определить прогонкой некоторые компоненты несвязного множества решений.
Практическая реализация рассмотренной схемы иллюстрируется для простого примера на рис. 18.15.
5*
132
Глава 18
ВВедение
Возмущения
Удаление
Возмущения
ИзВестное
множества
Прогонка
Градиентные динамические системы
133
6. ВЫВОДЫ
В этой главе рассматривались статические и динамические свойства градиентных динамических систем. Хотя эти динамические системы невозможно привести к каноническому виду нигде, кроме положения равновесия, методы и результаты элементарной теории катастроф оказываются полезными при изучении их динамических свойств. В часто встречающемся случае п = 2 динамические свойства становятся совершенно наглядными благодаря применению методов построения фазовых портретов. Фазовый портрет в окрестности вырожденной критической точки можно построить как предельный случай фазового портрета ростка деформированной катастрофы (при бесконечно малом возмущении).
Был рассмотрен типичный пример из широкого класса интересных физических приложений теории катастроф и теории бифуркаций. Просто удивительно, что для получения столь подробной информации о приблизительном расположении и типах устойчивости критических ветвей некоторых симметрических функций, зависящих от одного управления, потребовались столь незначительные усилия. На практике же задачи такого рода, встречающиеся в научно-технических приложениях, имеют еще более простую структуру.
Было показано, как можно найти стационарные значения потенциальной функции при помощи метода прогонки. Хотя катастрофы мешают непосредственной реализации данного метода, тем не менее это препятствие можно обойти, поскольку известны канонические формы катастроф. Обсуждалась связь между теорией бифуркаций и теорией катастроф; показано, каким образом методы теории катастроф (т. е. изменение управлений) могут привести к обнаружению несвязных множеств решений и их дальнейшему анализу методом прогонки.
Литература
1. Golubitsky М., Schaeffer D. A. Theory for Imperfect Bifurcation via Singularity Theory, Commun. Pure Appl. Math., 32, 21—98 (1979).
Рис. 18.15. Несвязное множество решений можно обнаружить с помощью комбинации прогонки и методов теории катастроф.
а — связное множество решений находится прогонкой; б— при фиксированной длине дуги s адиабатически вводится деформация до тех пор, пока все множество решений не станет связным. При этом отслеживается положение единственной известной критической точки при фиксированном s (светлый кружок). Прогонкой определяется наличие петли в множестве решений. Здесь используются стандартные методы перешагивания и определяется новая критическая точка при том же значении s; в — отслеживается положение новой точки (светлый кружок) при адиабатическом снятии деформации; г — с помощью прогонки строится несвязное множество решений для исходного невозмущенного потенциала.
19
АВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Для анализа свойств автономных динамических систем могут быть использованы терминология и методы теории градиентных динамических систем. В частности, такие термины, как «равновесие», «критическая точка», «вырожденная критическая точка», «структурная устойчивость», «структурная неустойчивость», «морсификация», «общая деформация», «фазовый портрет», можно непосредственно перенести на автономные динамические системы.
В настоящей главе изучаются геометрические свойства линеаризованной матрицы устойчивости. Такие матрицы представимы точками пространства R™’. Это пространство разбивается на открытые области, характеризующие качественно различные структурно устойчивые динамические системы, сепаратрисой, описывающей структурно неустойчивые системы, компоненты которой определяются собственными значениями линеаризованной матрицы устойчивости. Сепаратриса содержит компоненты, на которых происходит изменение динамической устойчивости, и компоненты, на которых такое изменение не происходит. Компоненты первой группы являются аналогами множеств, определяемых условием det Уц = 0 для градиентных систем. Такие компоненты описывают системы (динамические и градиентные) с вырожденными критическими точками, и с этими компонентами связаны бифуркации. Компоненты второй группы аналогичны тем множествам в пространстве управлений градиентных систем, для которых два или более критических значения равны (максвелловское множество). Как правило, бифуркации не имеют отношения к этому множеству ни в градиентных, ни в динамических системах.
