Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Покажем, как следует изучать фазовые портреты для семейства потенциальных функций V{x,y\c). Выберем некоторый специальный вид потенциальной функции, достаточно простой для анализа и вместе с тем достаточно представительный для широкого класса потенциальных функций, важных для физических приложений. Для этого достаточно наложить ограничения симметрии, т. е. потребовать, чтобы функция не менялась при заменах
(18.19)
Это означает, что V(x, у, с) является четной функцией х и у, например функцией от х2 и у2:
V (х, у; с) = / (х2, у2; с). (18.20)
lie
Глава 18
Уравнения движения в этом случае имеют вид
dx
dt
dy
dt
дУ
дх
дУ
ду
df d (х2)
дхг
JL
ду2
dx
d (У2) dy
2х
dt
дх2
-2Ц-У-
У ду2
(18.21)
Критические точки функции V определяются обычным образом из условий dx/dt = dy/dt = 0. Ясно, что начало координат (х,у) = (0,0) является критической точкой при всех с. Если df/dx2 — 0 при (*, у) — (0, 0) для некоторого значения с, то начало координат является вырожденной критической точкой с «плохой» переменной х. Матрица устойчивости для функции
V имеет вид
У,,
1 dt
2 дх2
+ х2
d2f
ХУ
а2/
дхгду2
д (хг)2 1 df 2 ду2
ХУ
+ У2
дЧ
дх2ду2 d3f
dWF _
(18.22)
Для критической точки в начале главными осями являются оси ха у. Для всех критических точек, лежащих в плоскости [*— с, (г/ == 0) ], и всех критических точек, лежащих в плоскости [у — с, (х = 0)], оси х и у являются главными. В общем случае оси х и у не являются главными осями для критических точек, не лежащих на какой-либо из двух плоскостей симметрии.
Как следует из гл. 5, при одном управляющем параметре в общем случае только одно собственное значение обращается в нуль в неморсовской критической точке. Это остается справедливым и в данном симметрическом случае. Для семейства функций общего вида, зависящих от одного управляющего параметра, как правило, встречается только катастрофа складки А 2. Однако семейство V{x,y\c) отнюдь не относится к общему виду; наоборот, оно относится к достаточно узкому классу из-за наличия ограничений симметрии (18.20). Как мы уже видели (гл. 17), в этом случае типично появление катастрофы сборки.
Для выяснения условий, при которых появляются складки и сборки, предположим, что (хс, у с)— критическая точка, и проанализируем симметрии (если они есть) функции V (х, у, с) в окрестности этой критической точки. Это можно сделать, анализируя соотношение
V (хс ± bx, yc±&y\c) = V (хс + блг, ус + Ьу\с). (18-23)
Вообще говоря, функция V{x,y\c) не инвариантна относительно замены 6* -»----6х, если хс ф 0, однако обязательно инва-
риантна, если хс = 0. Поэтому, если «плохой» переменной яв-
Градиентные динамические системы
117
ляется х и хс ф 0, то происходит катастрофа складки, однако если хс — 0, то вместо нее происходит катастрофа сборки. Аналогичные рассуждения остаются справедливыми и для направления у. Возможные ситуации представлены в табл. 18.1.
Теперь можно исследовать качественное поведение симметричной потенциальной функции V{x, у, с) при вариациях параметра с. Вдоль совершенно симметричного решения л:(с)=0, у(с)= 0 собственные значения, связанные с направлениями х
Таблица 18.1. Типы катастроф, происходящих в однопараметрическом семействе функций с симметрией типа F (±х, ±у; с) = F (*, у; с)
«Плохая» Положение вырожденной критической точки
переменная х=0, у=0 х ф 0, у=0 х = 0, у & 0 X ф 0, у ф 0
состояния
X Сборка Складка Сборка Складка
У » Сборка Складка
Примечание. Катастрофы, происходящие в однопараметрическом семействе функций
с симметрией типа F (±х, ±у\ c)=F (х, у; с), как правило, являются складками иЛи сбор
ками в зависимости от типа симметрии в вырожденной критической точке.
и у, являются функциями с. Если собственное значение (по л:) проходит через нуль, то происходит катастрофа сборки, и в направлении х ответвляются два новых решения. Вдоль этих новых направлений можно вычислить матрицу устойчивости. Поскольку на новых решениях х(с) ф 0, у(с) —0, то матрица устойчивости имеет диагональный вид, и собственные значения отвечают направлениям х и у. Если где-либо на этой новой ветви обращается в нуль собственное значение матрицы, связанное с х, происходит катастрофа складки. Если же обращается в нуль собственное значение, связанное с у, то появляется катастрофа сборки, и в направлении у ответвляются два дополнительных решения. На этих новых множествах решений jc(c)=t^0, у(с)Ф 0, и любые возникающие катастрофы должны быть складками. От критических ветвей с х(с)ф 0, у{с)ф О не ответвляется никаких новых решений.
