Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 42

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 121 >> Следующая


6. ВЫВОДЫ

Результаты, представленные в табл. 2.2, являются ответом на четко поставленный вопрос: что представляют собой простые неморсовские функции, типичные для fe-параметрических семейств функций F : Rn X R* R'?

Если необходимо расширить табл. 2.2, то прежде всего следует обобщить постановку данного вопроса, причем обобщение может быть осуществлено разными способами. Мы рассмотрели всего лишь пять вариантов обобщения.

Мы опустили слово «простые» и изучали последовательности и семейства ростков катастрофы, зависящих от 0, 1 или 2 модулей. Эти результаты (в основном принадлежащие Арнольду), вероятно, имеют ограниченную область практических приложений, но представляют большой теоретический интерес.

Сняв ограничение п < оо, мы таким образом расширили область определения функции от конечномерного пространства до бесконечномерных пространств. При определенных ограничениях на отображение Fi,¦ (конечность ядра, отделенность всех ненулевых собственных значений от нуля) задача классификации неморсовских критических точек сводится к конечномерной (размерности ядра Fij) задаче, и в этом случае применимы обычные методы теории катастроф. Однако при переходе к бесконечномерным пространствам возникают новые причины потери устойчивости, механизм которых еще не до конца ясен.

Сняв ограничение т— 1, мы исследовали отображения F:R"->-Rm. Хотя для некоторых особенностей таких отображений известны канонические формы, здесь все еще остается нерешенной серьезная проблема, связанная с тем, что устойчивые отображения не всегда образуют плотное множество в пространстве всех отображений указанного вида. Поэтому вполне вероятно, что в таких случаях окажется необходимым создание некоторого нового математического аппарата.
104

Глава 17

Очень важной с практической точки зрения задачей является определение типа качественных изменений, которые могут происходить в семействах функций, инвариантных относительно некоторой группы симметрий G. (Мы опустили слово «типичные» в исходной формулировке основного вопроса.) Эта задача может быть решена известными методами анализа элементарных катастроф.

Методы элементарной теории катастроф оказались применимыми и в случае катастроф с ограничениями. Было показано, что сепаратрисы в семействах функций появляются в тот момент, когда точка р, в которой S/F = 0, оказывается на границе dS области определения функции F.

Литература

1. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы. УМН, 1975, 30 : 5, 3—65.

2 Арнольд В. И. Нормальные формы функций в окрестностях вырожденных критических точек. УМН, 1974, 29 : 2, 11—49.

3. Arnol’d V. I. Local Normal Forms of Functions, Invent. Math., 35, 87—109 (1976).

4. Арнольд В. И. Классификация унимодальных критических точек функций. Функциональный анализ и его приложение, 1972, 7 : 3, 75.

5. Арнольд В. И. Классификация бимодальных критических точек функций. Функциональный анализ и его приложение, 1975, 9:1, 49.

6. Golubitsky М., Guellemin V. Stable Mappings and their Singularities, New York: Springer, 1973. [Имеется перевод: Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.]

7. Pitt D. Н., Poston Т. Determinancy and Unfoldings in the Presence of a Boundary (будет опубликовано).

8. Poston Т., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, 1980.]
18

ГРАДИЕНТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

В элементарной теории катастроф изучаются равновесия потенциалов и семейств потенциалов, а также изменения этих равновесий при вариациях внешних управляющих параметров. Многие интересные физические системы находятся в равновесии, однако имеются еще более интересные физические системы, которые неравновесны. По этой причине хотелось бы распространить результаты и методы элементарной теории катастроф на динамические (а не статические) системы. Совершенно ясно, что для описания не непрерывных явлений (внезапных скачков), связанных с элементарными катастрофами, необходимо переступить границы элементарной теории. Дело в том, что элементарная теория катастроф, по-видимому, не годится для описания динамических процессов, происходящих при переходе от одного статического равновесия к другому, как это с очевидностью следует из табл. 1.1. В этой главе рассматривается простейшее возможное обобщение элементарной теории катастроф — на класс градиентных систем. Анализируются трудности, возникающие при таком обобщении, а также трудности, связанные с тем, что для градиентных динамических систем не существует канонических форм, близких к элементарным катастрофам; описываются методы, связанные с фазовым портретом системы, в приложении к градиентным динамическим системам; обсуждается вопрос о том, каким образом следует использовать результаты элементарной теории катастроф для анализа задач, которые при обычных подходах требуют для своего решения слишком больших затрат времени и усилий; показывается, как можно «шагать» вдоль критических точек потенциала при изменении значений управляющих параметров; устанавливается связь между теорией катастроф и теорией бифуркаций.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed