Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
') В оригинале дано «с-number function», т. е. «функция, значением которой является число». Здесь и ниже для краткости используются термины «с-функция» и «7-функция» (для случая операторов). — Прим. перев.
6
Глава 15
N-yoo). В результате получают функцию соответствующего числа переменных состояния и управляющих параметров. Переменные состояния являются классическими предельными значениями операторов, а управляющие параметры — константами, характеризующими полярные взаимодействия и входящими в гамильтониан. Для анализа фазовых переходов, сопровождающихся изменением энергии основного состояния, можно воспользоваться стандартным методом теории катастроф.
Идентичный по своей сути и схожий в деталях метод может быть использован для анализа термодинамических фазовых переходов. Для замены гамильтонианов потенциальной функцией, минимум которой точно совпадает со свободной энергией частицы, можно воспользоваться другим алгоритмом. Кроме классического предела гамильтониана в эту функцию входит еще аддитивный член, связанный с энтропией системы. Переменные состояния системы остаются теми же, а ее температура теперь становится единственным управляющим! параметром.
На практике эти два алгоритма сводятся к анализу бифуркаций. Теория катастроф при этом оказывается полезной для выявления членов гамильтониана, «ответственных» за появление фазовых переходов, и членов, не имеющих к этому отношения. В гамильтонианах могут быть оставлены только главные члены точно так же, как это делается при разложении функций в ряд Тейлора в окрестности вырожденной критической точки до членов первых порядков малости. Члены, ответственные за фазовые переходы второго рода, называют каноническим ядром гамильтониана.
Теория катастроф оказывается полезной при анализе равновесных и неравновесных систем. В связи с этим приводится вывод динамических уравнений движения для одного частного случая гамильтониана. Эти уравнения консервативные, поэтому нельзя ожидать, что их решения будут вести себя, как решения диссипативных градиентных систем). Вместе с тем при наличии потенциала и вырожденных критических точек можно ожидать явлений, подобных, например, критическому удлинению.
Рассматриваются неравновесные устойчивые состояния, в основном фазовые переходы, которые могут иметь место, когда система далека от состояния термодинамического равновесия. Один из введенных гамильтонианов описывает поведение обычного лазера. Фазовые переходы в лазере относятся к сборке типа Л+3. Обсуждаются возмущения лазерных фазовых переходов; возмущения, нарушающие симметрию, могут привести к новым физическим процессам, один из которых называется оптической бистабильностью.
1. ОПЕРАТОРЫ
В классической механике центральная роль отводится потенциальным функциям. В квантовой же механике эта роль принадлежит функциям, значениями которых являются операторы. Тот факт, что теория катастроф оказывается полезным инструментом в классической физйке, не вызывает особого удивления, но то, что она столь же полезна в квантовой механике, может показаться неожиданным. Чтобы несколько ослабить впечатление, заметим, что многие результаты в квантовой механике могут быть получены путем непосредственного применения вариационных принципов (Рэлея — Ритца, Хартри, Хартри — Фока) к классическим функциям. Этими функциями часто являются значения операторов, усредненные по пробным волновым функ-
Квантовая механика
7
циям. Именно на этом пути мы и попробуем найти связь между квантовой и классической механикой.
Операторы, с которыми мы имеем дело, можно построить из бозонных и фермионных операторов. Они подчиняются отношениям коммутативности и антикоммутативности:
фермиона для /-го состояния. Все до сих пор открытые элементарные частицы с целыми (полуцелыми) спинами являются бозонами (фермионами).
Фермионные операторы для единичного состояния действуют в двумерном гильбертовом пространстве с базисными векторами (0>, (1> следующим образом:
Бозонные операторы для единичного состояния действуют в бесконечномерном гильбертовом пространстве с базисными векторами |п>, п — О, 1, 2, ... (представление Фока), следующим образом:
Билинейные комбинации b]bj, f]fj бозонных и фермионных операторов замкнуты относительно коммутативности. Например,
где а — b или а = /. Это можно показать, исходя из следующего общего свойства коммутирующих операторов:
Данное свойство часто называют деривацией, поскольку оно обобщает обычную операцию дифференцирования на класс операторов.
ООО Множество операторов, замкнутых по отношению к коммутативности, порождает алгебру Ли. Множество операторов ata/ (l^t, j < г) порождает алгебру Ли и (г) для а = b или
{/]¦>/;}=о,
где
[А, В] — АВ — ВА и {А,В} = АВ + ВА. (15.2)
Здесь Ь\, bi — операторы «рождения» и «уничтожения» бозона для i-го состояния, а //, f} — операторы рождения и уничтожения
ТО = 11>, Г И> = 0, /|0> = 0, /I 1) = | 0).
(15.3)
