Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ф' = (- ег - kT„ (г)) + (1 ег - | У | г2) 02 -f
+ (“1Г + jl^k2) 04 + ... (15.84)
Первый член достигает минимума при
2r = thyPe (15.85)
в силу (15.83). Коэффициент при квадратичном члене обращается в нуль при
2r = Tfj-. (15.86)
Квантовая механика
33
Если квадратичный член исчезает, коэффициент при члене четвертой степени положителен; поэтому Ф' имеет вырожденную критическую точку типа Л+3, если е/|У|< 1 и
Термодинамический фазовый переход второго рода происходит при критической температуре, определяемой из уравнения
7.2. Расширенные модели МГЛ и Дикке
Критические свойства термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ, эквивалентны аналогичным параметрам модели Дикке. Эта эквивалентность может быть установлена с помощью тех же рассуждений, что использовались при доказательстве эквивалентности критических параметров (показателей) основного энергетического состояния систем, описываемых моделями Дикке и двух- и r-уровневыми моделями МГЛ.
Раньше мы пользовались этой аналогией при изучении более простых моделей МГЛ, чем модели Дикке. В данном же случае удобной оказывается обратная процедура, поскольку классические предельные значения операторов Ец/N (1 ^ г, / ^ г, г > 2) при конечной температуре имеют довольно сложный вид. Поэтому целесообразно перейти к полуклассическому пределу (15.35), заменив все фотонные операторы их средними. Тогда полуклассический гамильтониан примет вид
Каждый оператор Mw является (г X г)-матрицей, описывающей взаимодействие а-го атома с классическим внешним Полем. В предположении среднего поля каждый атом, находящийся в энергетическом состоянии г, испытывает воздействие того же
(15.87)
]^T = thTpce.
(15.88)
г г N
г N
N
MSC=>N ? ЙСО..Ц* Ц + ? М(а>, (15.89Н)
1</</ ' ' ' а-1
г г
2 Зак. 811
34
Глава 15
самого внешнего поля, поэтому М(а) — М для всех а. Поскольку свободная энергия равна
е~Рр — \хе~$уе = е ^ he>iiv‘jt>lii tr exp р ? AfJ,
[N 1 N N
— Р Z ЛП =tr П e-PM = n h e-№ = {iv e-$M)N (15.90)
a = 1 J a = l a=l
Свободная энергия одного нуклона составляет
Р
-дГ = гшпФ,
(15.91)
Ф = Z Йсо . — kT In tr (e~PM).
i<«</ ' ' 1
Изучение критических свойств функции Ф не вызывает особых трудностей при условии, что из всех констант связи X/i лишь одна отлична от нуля.
Отличны от нуля только два недиагональных элемента матрицы М. Это позволяет легко вычислить ее собственные значения еь 62, • • •, ё/, ..., ё/, ..., ег и
е± “ (-^) ± +11>,| |!]И • <15'92>
Как и в случае фазовых переходов, критические значения термодинамических величин зависят от следующих условий: (1) находятся ли оба взаимодействующих атома в возбужденном 'состоянии или (2) один из них находится в возбужденном состоянии, а другой — в основном.
1. Xj 1=7^0. В этом случае результатом взаимодействия будет уменьшение энергии основного состояния. Это означает, что следует ожидать фазового перехода второго рода. Последний можно определить, разложив потенциальную функцию Ф по степеням |ti/i|2. В результате получаем
Ф = Лю,, | |2 - kT In [г (Р) + (е-ре‘ - <ГРе/) =
Г е-Ре/_<ГРе1 |» |2 ¦)
^-бПпгф)+ (/*«>„ +------------m--------±JiLJ\»nf + 0(A)t
(15.93)
Г
где 2(Р)=?е_рЧ (15.94)
i-i '¦
Квантовая механика
Ц
Критическая температура, при которой исчезает коэффициент при квадратичном члене, определяется равенством
\ -Pei
|Ллр “ z(P) • (15,95)
При такой критической температуре коэффициент при члене в четвертой степени положителен. Следовательно, при критической температуре Тс многоуровневая система претерпевает термодинамический фазовый переход второго рода [катастрофа типа (Л+з)], если (е,- — ej)Йсо/i/1Л-д |2 < 1. Заметим, что это условие совпадает с условием фазового перехода первого рода с изменением энергии основного состояния.
2. %ц ф 0, j > t > 1. В этом случае имеем
ф (р) = Ын | ц/( I2 - kT In IS' + е р (еУ+е«)/2(ере + е"
02 + 1Я>« I’' (,5'96>
(Штрих у знака суммирования означает, что сумма не содержит членов, относящихся к t'-му и j-му уровням; кроме того, следует иметь в виду, что %ц — действительное, а цц — неотрицательное числа.)
