Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
3. ф = /гс — kTd(6).
4. E/N = i:iin<D.
(15.71)
Для операторов углового момента
(1з)т — г cos 0, (J±)t — г sin Ge*
(15.72)
(15.73)
оо .
г
а (6) = — X 6, In Ь{, где
(15.74а)
6,>62>
>бг>0, + 6r = 1.
(15.746)
30
Глава 15
г = J/N, 6i = Y + r, б2 = j — r и
Л (г) = — { (4" + г) 1п (т + г) + (т — r) 1п (т “ г) } > (15.75)
где 0 ^ г = J/N ^ -j входит в классический предел операторов
углового момента.
Пример. В случае N одинаковых двухуровневых систем алгоритм вы* глядит следующим образом:
1. Ж/N = hQ (fl/VF, а+/УЖ J3/n, J+/n, J-/n).
2. hc ([i, [i*, r, 0, <?) = ([i, [i*, r cos 0, r sin r sin Qe~ '*).
3. Ф (P) = hc (Ц, Ц*. r, 0, Ф) - kT6 (r).
4. F ($)IN — min Ф (P).
ц, ц", r, 0, ф
ООО В пределе при T-*¦ 0 F-+Eg и этот алгоритм сводится к алгоритму определения Eg/N, описанному в разд. 4.
7. ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1. Модели МГЛ и Дикке
Гамильтониан МГЛ h.Q и потенциал, полученный из него по указанному алгоритму, имеют вид
V=‘т + ? v [(тг)’ + (тг)1+iw <ISJ6a>
ФМОь = — ercosB + у V {r sin0)2(e2i*+e~2i*)+\y (r sin0)2— kTd(r),
(15.766)
где d (г) определяется выражением (15.75). Прежде чем обсуждать термодинамические свойства этой модели, построим потенциал для модели Дикке:
*, _ „ + . ? + X (^) (i) + х- (^) (?), (15.77а>
фп = йй>|л*|д. — er cos 0 + A41V sin Qe~l* + X*]xr sin Qe+i* — kTd (r).
(15.776)
Этот потенциал можно исследовать, исключив из него ц* с помощью соотношения дФо/дц* = 0. Поскольку энтропия не зависит от параметров порядка поля, дальнейшая процедура ана-
Квантовая механика
31
Рис. 15.3. Зависимость логарифма кратности л (г) группы SU(2) и его производной д'{г) от г — J/N.
*>(Г)= - {(1/2 + г) In (1/2 + г) + (1/2—г) In (1/2 — г)}, -^(r?- = ln±l|?. .
аг \ + 1г
логична указанной в разд. 6, и редуцированный термодинамический потенциал для модели Дикке принимает вид
ФЬ = - er cos 0 - (г sin 0)2 - кТб (г). (15.78)
Критические свойства модели Дикке изоморфны критическим свойствам модели МГЛ как в термодинамическом [ср. (15.78) с (15.766)] случае, так и в случае основного энергетического состояния. Причины остаются теми же.
Прежде чем перейти к подробному анализу функции Фmol, рассмотрим свойства энтропийного члена — кТд(г). Свойства а (г) иллюстрируются на рис. 15.3. Заметим, что хотя функция
а (г) ограничена на Jo, -^-j, ее производная з'(г) этим свойством
не обладает. Отметим, кроме того, что функция he конечна для
всех значений (г, 0, </>), 0 ^ г ^ . В пределе при Т -> 0 наиболее
важный вклад в потенциал Ф вносит энергетический член:
г->о
Ф hc = </iQ>r=o> (15.79)
При Т ->оо наиболее важную роль начинает играть энтропийный член:
Ф kT In 2 + Небольшая поправка. (15.80)
Теперь можно перейти к обсуждению термодинамических критических свойств модели МГЛ. Не теряя общности, положим W = 0. Минимизация по ф приводит к редуцированному потенциалу
ф'(Р) = _ ег cos0 -1 V |(r sin 0)2 -кТо(г). (15.81)
32
Глава 15
При Г-v0 остается только энергетический член, и его экстремальное значение находится выбором наибольшего возможного г. r = J/N— 1/2. При таком выборе h'c сводиггя к (15.38'). Минимум Ф' достигается при 0 = 0, если е >^У|, и при cos0 = = +е/1 V |, если е < | V \.
При Т-э-оо энтропийный член домиьйрует над энергетическим. Значение г, минимизирующее Ф', определяется из уравнения
= - е cos 0 - 2г j У | sin20 - kT In = 0. (15.82)
Член dhc/dr ограничен, поэтому член —kT In [ (1—2г) / (1 + 2г) ] должен быть конечным. Последнее означает, что г-> 0 при Т-+0О, При таком предельном переходе мы можем пренебречь членом —2r|l/|sin20 по сравнению с членом ecos0. Если пренебречь членами, описывающими взаимодействия в Ф', то минимум по 0 достигается при 0 = 0. При этом условии г определяется приближенно как
г(Р) —yth-jpe. (15.83)
<}<}<} С ростом температуры члены, описывающие взаимодействия, становятся не существенными по сравнению с диагональным членом е/3, поскольку они зависят от г2, а диагональный член — от г1. При Т -> оо можно пренебречь членами, описывающими взаимодействия, при вычислении параметров (0, </>), минимизирующих Ф. Термодинамическое поведение при высоких температурах такое же, как при слабых взаимодействиях на основном энергетическом уровне. Повышение температуры приводит к тому, что константы связи стремятся к нулю.
Будем исследовать термодинамический фазовый переход,
разлагая Ф' в окрестности нуля и рассматривая коэффициент при квадратичном члене как функцию возрастающего г или убывающей температуры:
