Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
О**»
Поскольку усредненные многочастичные операторы коммутируют [см. (15.16)], их порядок в (15.66) не существен. Сравнивая (15.66) и (15.50), уже можно почувствовать причины существования связи между критическими свойствами расширенных моделей МГЛ и Дикке.
6. АЛГОРИТМ ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
До сих пор мы рассматривали лишь фазовые переходы основного энергетического состояния. Они могут происходить при нулевой температуре при изменении констант связи, характеризующих данную систему. Обычно в конкретной системе эти константы фиксированы, и для изучения таких фазовых переходов нужно найти более тонкие методы. В случае твердых тел этого можно добиться, изменяя изотопное давление, в ядрах — исследуя изотопные или изотонные последовательности. Этими методами определялись фазовые переходы основного состояния.
В лабораторных условиях обычно проще исследовать термодинамические фазовые переходы, а не фазовые переходы основного состояния, поскольку в данном случае меняется лишь один параметр управления — температура Т. В этом разделе будет описан простой алгоритм для изучения термодинамических фазовых переходов модельных гамильтонианов в приближении среднего поля, рассмотренных в разд. 3.
При конечной температуре состояние квантовомеханической системы, пребывающей в термодинамическом равновесии, не является чистым квантовым состоянием |^г), а скорее представляет собой статистическую смесь чистых состояний. Состояние
28
Глава 15
|я|5,> имеет вероятность Рг~е~р?«, где Ei — энергетическое собственное значение |я|5(>, а |}=1/&7\ Среднее любого оператора О есть
{О) = ? Pt (fy | С? | = tr (| г|,г> Р{ (г|?? \)0 — h 90. (15.67)
Оператор р называют оператором плотности. В пределе при температуре, стремящейся к нулю, в этой сумме остается лишь член с минимальной энергией |г|зг>, т. е.
«?>^<г|дСЧг|у. (15.68)
Среднее значение оператора может быть определено по одному чистому состоянию только в этом предельном случае. При Т ф 0 состояние квантовомеханической системы уже определяется не из условия минимума энергии, а из условия минимума свободной энергии. Свободная энергия F определяется по функции разбиения Z из уравнения
e-»e = Z = tre-P* (15.69)
Нас интересует предельное (при N-+oo) значение величины свободной энергии, приходящейся на одну частицу (нуклон, атом, молекула):
lim -?¦ = — (15.70)
w-х» N f,N 4 ’
Эту величину можно подсчитать для гамильтонианов рассматриваемого класса, причем используются описанные ниже теоретико-групповые приемы. Полученная оценка приводит к алгоритму, описанному ниже вслед за обсуждением некоторых технических деталей. Читатели, не интересующиеся этими подробностями, могут опустить их и перейти непосредственно к алгоритму.
Обсуждение [9]. Вычисление F/N производится по следующим простым этапам:
1. Гильбертово пространство, в котором действует оператор Ж, разбивается на ряд меньших подпространств. Каждое подпространство неприводимо относительно действия динамической группы U{r) [8, 12].
2. При помощи неравенств Боголюбова и Либа [13] в каждом неприводимом подпространстве устанавливаются нижние и верхние границы величины
3. Эти границы суммируются по всем неприводимым подпространствам с учетом кратности; в результате получаются нижние и верхние границы для функции разбиения Z.
4. Для построения границ для свободной энергии вычисля-1 ются логарифмы полученных границ.
Квантовая механика
29
5. Логарифм (мультипликативного) множителя кратности становится описывающим беспорядок аддитивным членом, в конечном счете интерпретируемым как энтропия.
6. Разность верхней и нижней границ интенсивной свободной энергии F/N стремится к нулю при N-*¦ оо.
Таким образом, эта процедура дает оценку величины F/N, которая становится точной при N-*~ оо. Эта оценка определяется простым четырехшаговым алгоритмом:
Данный алгоритм очень похож на алгоритм определения усредненной энергии основного состояния Eg/N, за исключением двух существенных моментов:
1. (hQ}r есть среднее, вычисляемое из (15.67) при конечной температуре. Классические пределы (-)г являются классическими пределами при конечной температуре (т. е. взятыми в пространствах, отличных от пространства, содержащего основное энергетическое состояние). Для фотонных операторов
Классические пределы (Ец/ЫУтфо для групп U(r) известны, но не настолько просты, чтобы их можно было включить в эту книгу.
2. Логарифмы множителя, учитывающего кратность, есть
[(Множители бi — отношения длин разбиения Юнга X, к числу частиц N: б; = fa/N.) Для SU (2) имеем Xi+X2 = N, h —> К2 = 2/,
1. SHg/N = hQ (а#/y/N, E/N).
2. hQ^hc = (hQ)T = hQ((a*I^N)T, (E/N)т).
