Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
9. Mather J. Stability of C“ Mappings V. Transversality, Adv. Math., 4, 301— 336 (1970). [Имеется перевод: УМН, 1974, 29 : 1, 99—128.]
10. Mather J. Stability of C“ Mappings VI. The Nice Dimensions, in: Proceedings of the Liverpool Singularities Symposium, Lecture Notes in Mathematics, 192 (С. Т. C. Wall, Ed.), Berlin: Springer, 1971, pp. 207—253 [Имеется перевод: УМН, 1974, 29: I, 129—158.]
11. Siersma D. Singularities of C" Functions of Right-Codimension Smaller or Equal than Eight, Indag. Math., 25, 31—37 (1973),
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Первое изложение теории катастроф было дано в книге Тома «Stabilite Structurelle et Morphogenese» (1972 г.). В этой книге теория катастроф представляется как некая общая теория построения моделей посредством аналогий. Однако изложение теории сопровождается большим количеством отступлений философского характера, что в значительной степени затрудняет понимание вопросов, связанных с происхождением теории. В частности, в книге Тома теряется тот важный факт, что теория катастроф продолжает направление исследований, берущих свое начало от Пуанкаре (качественная или топологическая динамика). Кроме того, книга Тома предназначена скорее для биологов, чем для математиков, физиков, химиков или инженеров. Другими словами, как по форме, так и по содержанию первая книга по теории катастроф оказалась труднодоступной для тех, кто ожидал от нее непосредственной практической отдачи.
Тем не менее важные идеи Тома получили развитие в нескольких направлениях, три из которых необходимо выделить особо. Они связаны в основном с именами Мезера и Мальгран-жа, Арнольда и Зимана.
Мезер и Мальгранж (а также ряд других ученых) занялись строгим математическим доказательством теорем Тома. Это направление привело к математическому обоснованию теории катастроф.
Арнольд значительно расширил классификацию особенностей функций и указал, насколько важным наличие таких особенностей может оказаться для прикладных дисциплин. Собрав массу разрозненных фактов и результатов вместе и написав серию обзорных статей, замечательных по своей красоте, ясности и конкретности изложения, Арнольд первым сделал теорию катастроф доступной для широкой аудитории.
Наконец, Зиман показал, что теория моделей Тома может быть весьма полезной для тех дисциплин, в которых нет высокоразвитой математической инфраструктуры. Он, в частности, предложил широкий и захватывающий спектр приложений теории катастроф в социальных и биологических науках,
274
Послесловие
Развитие теорий катастроф сопровождалось рядом критических выступлений. Так, критика, которая велась Суссманом и Цалером, была направлена против исследований Зимана. Эта критика, к сожалению, была не более чем бурей в стакане воды и привела лишь к тому, что отсрочила на несколько лет широкое использование теории катастроф как полезного рабочего инструмента ученых и инженеров.
Основные возражения против полезности теории катастроф обычно бывают двух типов и сводятся к следующим суждениям:
— теория катастроф является топологической, и ее результаты имеют качественный, а не количественный характер. Поэтому она совершенно бесполезна;
— элементарные катастрофы Тома имеют непосредственное отношение лишь к изучению бифуркации состояний равновесия градиентных динамических систем. Следовательно, они неадекватны при описании реальных систем, которые обычно зависят от времени.
Я попытаюсь представить свое понимание серьезности обоих возражений.
Первоначальной целью исследовательской программы Пуанкаре была разработка качественной теории динамических систем. То, что теория является качественной (или топологической), совсем не мешает делать количественные предсказания для тех моделей, которые могут быть описаны на основе теории. Пуанкаре никто не порицал за развитие теории, которая являлась качественной. То же относится к Андронову и Хай-кину (теория колебаний). Аналогичные соображения применимы и к элементарным катастрофам. Многообразие катастрофы сборки может быть описано качественно, но я надеюсь, что машинные графики, представленные в этой книге, оставили неизгладимое впечатление именно своей количественной природой. Соответствие экспериментальных данных кривым, построенным на основе представлений об элементарных катастрофах (рис. 5.18), также свидетельствует о возможности количественных предсказаний теории катастроф.
Второе возражение против полезности элементарных катастроф, приписываемое их статической природе, само по себе верно и поэтому более серьезно, чем первое, но выводы, которые обычно из него извлекают, неправильны. Полезность теории катастроф состоит не столько в канонических формах, которые она дает, сколько в методах, которые она применяет. Я считаю, что для нематематиков, стремящихся конструктивно использовать теорию катастроф, можно выделить шесть различных уровней полезности, на которых может быть использована теория катастроф:
Послесловие
275
1. Организация данных. Необходимо имеющиеся данные собрать в согласованную структуру и показать, как они связаны друг с другом. Канонические свойства катастроф в этом случае могут подсказать новые направления исследований.
