Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрение 3 (две «плохие» переменные состояния х и у и k = 3, 4, 5). На основе алгоритма вычисления деформации получаем, что одночлены х и у всегда могут встретиться среди членов деформации. В рассматриваемый росток необходимо включить дополнительные члены деформации, от которых он зависит:
k = 3: х у х3 + у3 ?>4
ху
х у х2у + у3 D4
У2
Первый росток может быть получен из последнего (гл. 3). k = 4: х у х2у + уА D5
У2
У3
Члены деформации
* У
ху У2
и
X у
ху
ху2
не связаны ни с каким ростком. Это становится очевидным при доказательстве некоторых теорем, касающихся формы возму-
Определенность и деформация
271
щенных членов в треугольнике Паскаля.
к = 5: х у х2у + уъ ?>6
х2 у2
У3
х у х3 + У4 Бй
ху У2 ху2
Это дает перечень всех простых ростков, которые^ устойчиво и естественно возникают в семействах функций, зависящих от k (<6) управляющих параметров, вместе с универсальными деформациями таких ростков. Другие возможные представления деформирующих членов, о которых говорилось выше, могут быть использованы при поиске дополнительных устойчивых ростков катастроф, однако эти представления ведут к росткам, эквивалентным перечисленным в данном списке.
9. ВЫВОДЫ
«Линеаризация», проводимая при заменах переменных вычислений с целью упрощения последних, может быть осуществлена путем итераций инфинитезимальных преобразований. Однако подобная техника линеаризации представляет собой интерес, но не столько с точки зрения возможности упростить вычисления, сколько с точки зрения более простого доказательства теорем, которые ранее были доказаны с помощью общего метода преобразований, рассмотренного в части I.
Инфинитезимальные преобразования позволяют легко и непосредственно определить, какие члены разложения функции в ряд Тейлора могут быть исключены, а какие нет. Это распознавание было проиллюстрировано на ряде примеров, и были сформулированы правила вычисления определенности. Члены, которые в некотором смысле дополнительны к членам, используемым в алгоритме вычисления определенности, — это именно те члены, которые не могут быть удалены возмущением роста. Следовательно, именно они и требуются, чтобы получить наиболее общую форму возмущения данного ростка. В связи с этим были сформулированы правила вычисления деформации (ростка).
Росток представляет собой «результат» двух «конкурирующих» математических процессов; использование управляющих параметров для удаления начальных членов разложения функции в ряд Тейлора и использование гладкой замены переменных для удаления крайних членов разложения. В действительности росток лежит между двумя линейными векторными пространствами,
272
Глава 23
конструируемыми в алгоритмах вычисления определенности и деформации. Более точно, фактор-пространство VP/(VD© Vu) порождено первыми частными производными канонического ростка.
Указанные три алгоритма были использованы для изучения поведения функций в некритических и изолированных критических точках, а также для вычисления определенности и деформации простых ростков семейств катастроф типа Л*, ?>*, Ek. Было показано, что если конечная определенность равна 1 или
2, то не требуется никаких деформирующих членов и канонический росток может быть взят соответственно в виде (2.1) и (2.2).
Литература
1. Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, New Yorki Wiley, 1974.
2. Poston Т., Stewart I. N. Taylor Series and Catastrophes, London: Pitman, 1976.
3. Poston Т., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. ГИмеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, 1980.1
4. Ascher Е., Poston Т. Catastrophe Theory in Scientific Research, Research Futures, 2, 15—18 (1976); Battelle Memorial Institute, Ohio.
5. Mather J. Stability of C“ Mappings I. The Devision Theoremt Ann. Mark., 87, 89—104 (1968). [Имеется перевод в сб.: Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Мир, 1968.]
6. Mather J. Stability ot С“ Mappings II. Infinitesimal Stability Implies Stability, Ann. Math., 89, 254—291 (1969). [Имеется переврд в сб.: Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Мир, 1969.]
7. Mather J. Stibilitv of С“ Mappings III. Finitely Determined Map Germs, Publ. Mathm IHES, 35, 127—156 (1968). [Имеется перевод: Математика' 1970,14:1,143-1/5,!
8. Mather J. Stability of C“ Mappings IV. Classification of Stable Germs by R-Algebras, Publ. Math. IHES, 37, 223—248 (1969). [Имеется перевод' УМН, 1973, 28 : 6, 169—190.]
