Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Частные производные df/dXi ~х] приводят при использовании алгоритма нахождения определенности к одночленам Rn вида
*?(*№ • • • *?')• Pi + Р2 + • • • + Pi > (23-62)
т. е. все одночлены вида
xl'xl* ... x\i (23.63)
могут быть выражены в виде одночленов (df/dxt) rrij(x) при условии, что по крайней мере одна из степеней qt превышает 2, а сумма всех степеней qi превышает 3. Одночлен вида (23.63) более высокой степени, не выражаемый в виде Rn, имеет все степени qt, равные 2. Следовательно, кратные сборки имеют конечную определенность, равную 21, где I > 1.
268
Глава 23
ООО Двойная сборка является 4-определенной. Это означает, что функция
/ (х, у) = ах4 + Ьхг + сх2у2 + dxy3 + + члены более высокой
степени (23.64)
является 4-определенной, когда аеф 0. В этом случае члены более высокой степени могут быть «усечены». Теперь можно выполнить линейное преобразование, которое приведет f(x,y) к канонической форме
/' (*', у') = ± X'* + с'х'2 ± у'\ (23.65)
Это не является формулой стандартной двойной сборки, если с' = 0. Таким образом, даже простейшая двойная сборка не является простым ростком катастрофы. В случае I = 3 тройная сборка является 6-определенной, так что все члены седьмой степени и выше могут быть «усечены». Однако определенные члены четвертой, пятой и шестой степеней не могут быть удалены каким-либо гладким преобразованием. Таким образом, для того чтобы f(x,y,z) была тройной сборкой, недостаточно потребовать
/4/ {х, у, z) = x4 + у* + г4, (23.66)
но уже достаточно
pf (х, у, г) = х4 + у* + z4. (23.66')
Членами деформации для кратных сборок являются в точности те одночлены, которые дополнительны к S,/, возникающим в алгоритме деформации. Одночлены Su имеют вид (23.63), где опять же требуется, чтобы <71 + q2 + ... + qi ^ 0. Таким образом, Tj (х) состоят из всех одночленов вида (23.63), в которых все члены не выше второй степени (т. е. qi = 0, 1, 2 для каждого t=l, 2, ...). Всего существует точно 3* одночленов, или 3' — 1, если исключить константу.
Итак:
— если при I > 1
i
j2tf (*р ..., xt) — х ^ 0. (23.67)
то / эквивалентна кратной сборке и
i
/(*„ 0 = S VC (23.67d)
— универсальной деформацией f является
i
F (х; а) = ? К,х* + ? а?‘ ... х(23.67и)
i-l ”•*
Определенность и деформация
269
Рис. 23.6. Деформация двойной сборки f(x, у) — xi + yi.
О — члены, содержащиеся в деформации двойной сборки, встречаются в квадрате, ограниченном осями х и у и горизонтальной и вертикальной прямыми, исходящими из одночленов хг = df/dx hi/3 — df/dy.
Деформация двойной сборки, получаемая посредством диаграммного метода, изображена на рис. 23.6. Члены деформации имеют вид (х°, х1, х2)Х(у°, У1, У2) и заключены в квадрат, очерченный штриховой линией. Для тройной сборки члены деформации — это в точности те одночлены, которые встречаются в кубе (х°, х1, х2)Х(у°, У1, г/2)Х(г°, zl, г2). Для /-мерной сборки члены деформации встречаются в гиперкубе (xj, х\, xfj X • • •
• •• X (x°i, х\, xf) с длиной ребра, равной 2.
8. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ РОСТКИ
В заключение попытаемся ответить на вопрос: при каких общих условиях в общем семействе потенциальных функций V(хи Хп, Си ..., Ck), зависящих от неременных состояния и k управляющих параметров, будут- встречаться только простые неморсовские ростки и каковы они?
Рассмотрение 1 (I «плохих» переменных состояния). Росток функции V может зависеть от 1, 2, ... «плохих» переменных состояния. В общем случае I «плохих» переменных состояния не могут быть встречены в семействах, зависящих от менее чем k = l(l-\- 1)/2 управляющих параметров. Однако, как было показано, в 6-параметрическом семействе могут устойчиво обращаться в нуль все шесть квадратичных коэффициентов,
270
Глава 23
а каноническая форма для кубических членов зависит от модулей. Отсюда следует, что простые ростки могут встречаться только в семействах функций, зависящих менее чем от шести управляющих параметров, и в этом случае могут быть лишь одна или две «плохие» переменные.
Рассмотрение 2 (всего одна «плохая» переменная состояния). Если f(x) есть ^-определенная функция, то
f(x) = ±xk, (23.68d)
и универсальная деформация имеет вид
к-2
F (х\ a j, . .., ak_2) = ± хк + ? а.х1 -> Ак-1. (23.68и)
/-1
Следовательно, неморсовские ростки, которые могут устойчиво встречаться при k — 1, 2, 3, 4, 5, равны л:3, х4, хъ, х6, х7.