Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
13—г 16 § 13. Если, кроме того, принять в нашей геометрии архимедову аксиому V*, то, очевидно, для нашего исчисления отрезков
будет иметь место предложение Архимеда (предложение 17 § 13) и, следовательно, согласно теореме 59, коммутативный закон умножения. Из чертежа [77] совершенно очевидно, что коммутативный закон умножения представляет собою не что иное, как теорему Паскаля для пары осей. Тем самым справедливость теоремы 57 дока эанв.
Для доказательства теоремы 58 обратимся снова к введённой в § 33 дезарговой числовой системе й (s, t) и построим с её помощью пространственную геометрию по способу, описанному в § .29. В этой геометрии выполняются все аксиомы I, И, IV* и, несмотря на это, в ней теорема Паскаля не Имеет места, так как в дезарговой числовой системе Q (s, t) коммутативный закон умножения не имеет места. Построенная таким образом «непаскалева геометрия», в силу доказанной ранее теоремы 57, должна быть в то ж<г время и «неархимедовой» геометрией.
Ясно, что теорема Паскаля не может быть при наших предположениях доказана и в том случае, когда пространственную геометрию рассматривают как часть геомётрии любого, числа измерений, в которой кроме точек, прямых
176
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
и плоскостей, имеются ещё и другие элементы, причём эти последние также подчинены соответствующей системе аксиом соединения и порядка, а также аксиоме о параллельных.
§ 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теоремы Паскаля
Докажем сначала следующее важное предложение:
Теорема 61. Теорема Дезарга (теорема 53) может быть выведена аз теоремы Паскаля (теорема 40) с помощью одних только акси-
ом
И.
,_3, IV*, т. е. без помощи аксиом конгруентности и непрерывности.
Доказательство *). Ясно, что из двух утверждений, составляющих теорему 53, каждое есть следствие другого. Достаточно, таким образом, доказать только второе утверждение теоремы 53. При доказательстве этого утверждения мы сделаем некоторые дополнительные предположения.
Пусть треугольники ABC и А'В'С' [черт. 78] расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке .О и что прямая АВ параллельна А'В', а прямая АС—прямой А'С'. Положим, далее, что ни пара прямых OB' и А'С, ни пара прямых ОС и А'В' ие представляют собой параллелей. Проведём через А .прямую, параллельную OB', которая пересечётся с А'С в некоторой точке L, а с ОС-—в некоторой точке М. Положим, далее, что прямая LB' не параллельна ни О А, ни .ОС. Прямые АВ и LB' не могут быть параллельны, и, следовательно, они должны пересечься в некото-
*) Приведённое здесь доказательство теоремы 61 принадлежит Г. Гессенбергу (G. Hessenberg, «Beweis des Deear-guesschen Satzes aus den Pascalschen»., Math. Ann. x. 61).
§ 35. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ О ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 177
рой точке N, которую мы соединим прямыми с точками М н О.
К конфигурации ONALA'B', как это следует из её построения, теорема Паскаля применима, а потому ON параллельна A'L и, следовательно, параллельна также и СА. Теперь мы можем приложить теорему Паскаля к конфигурациям ONMACB и ONMLC'B' и получить, что MN параллельна как СВ, так и С'В'. Итак, стороны СВ и С'В' действительно параллельны.
Добавочные предположения, сделанные при доказательстве этой теоремы, могут быть одно за другим устранены. Здесь мы эти рассмотрения опускаем [7<].
Положим, что мы имеем дело с плоской геометрией, в которой, кроме аксиом 1,_я, 11, IV*, выполняется теорема Паскаля. Теорема 61 учит, что в этой геометрии имеет место также и теорема Дезарга. Поэтому мы можем ввести в ней исчисление отрезков, о котором шла речь в § 24; в этом исчислении отрезков, согласно сказанному, вместе с теоремой Паскаля, имеет место и коммутативный закон умножения, т. е. в ней имеют место все правила счёта 1—12 § 13.
Фигуру, соответствующую содержанию теоремы Паскаля или Дезарга, мы будем называть паскалевой или, соответственно, дезарговой конфигурацией. В таком случае результаты исследований §§ 24—26 и § 34 можно резюмировать следующим образом. Каждое применение вычислительных правил (правила 1—12 § 13) в нашем исчислении отрезков оказывается комбинацией конечного числа паскалевых и дезарговых конфигураций; а так как дезаргова конфигурация может быть представлена при помощи построения соответствующих вспомогательных точек и прямых (как это было сделано при доказательстве теоремы 61) в' виде комбинации паскалевых конфигураций, то каждое применение упомянутых вычислительных правил в нашем исчйслении отрезков оказывается комбинацией конечного числа паскалевых конфигураций.
Согласно сказанному в § 27 и на основании коммутативного закона умножения в этом исчислений отрезков, точка представляется парой действительных чисел (лг, у), а прямая-— отношением трёх действительных чисел [75] (u:v: w),
Д. Гильберт
