Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 60. Для неархимедовой числовой системы коммутативный закон умножения не является необходимым следствием остальных законов счёта; это значит, что существует числовая система, обладающая перечисленными в § 13 свойствами 1 —11,13—16,—являющаяся, согласно § 28, дезарговой числовой системой,— в которой коммутативный закон умножения (12) не имеет места.
Доказательство. Пусть t — параметр, а Т — любое выражение с конечным или бесконечным числом членов вида:
Т = r0tn -f- г^п+1 -j- r2in+2 r.Jn+3 -f- .. . ,
где г0(ф0), fj, ... могут быть любыми рациональными
числами, а п — любым целым рациональным числом=0.
К области таких выражений Т прибавим число 0. Два выражения вида Т называются равными, если в них все соответствующие числа п, r0, rv гг,. .. попарно равны друг другу. Далее, пусть s —- другой параметр, а 5 — любое выражение с конечным или бесконечным числом членов вида:
3=smr0-f-s'M+1r1-f Тг-\-. .. ,
где через Г0 (т^О), Tv Т,ь. .. обозначены выражения вида Т,
§ 33. УМНОЖЕНИЕ В ИЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ >73
am — любое целое рациональное число = 0. Совокупность
всех выражений вида S, к которой добавлено число 0, мы будем рассматривать как комплексную числовую систему Q(s, t), в которой мы установим следующие вычислительные правила.
Мы будем производить вычисления с параметрами s и t по правилам 7—11 § 13, а вместо правила 12 будем всегда применять формулу
ts — 2 st. (1)
Легко убедиться, что это условие не приводит к противоречию.
Если S' и S” суть какие-то два выражения вида &
5* = sm'To + sm’ +1 T'i -f sm'-f. . .,
S• = sm"f'o + sm"+1 т"\ s"'+*7o4-.. .,
то с помощью их почленного сложения можно, очевидно, образовать новое выражение которое снова имеет
вид S и определяется однозначно; выражение S'4-S" называется суммой чисел, представленных выражениями S' и S’.
С помощью обычного формального почленного умножении выражений S', S" мы приходим далее к выражению вида:
S'S" = sm’ То sm"Tо + {sm'Т'о sm"+1 f[-\,sn' + lT[sm"T"0)-\-
+ {sm'T'o sm"+2Tl + s”'+1 T[ sm"+lTi 4- sm'^T'2 sm"f0) 4' ...
Это выражение после применения формулы (1) обращается, очевидно, в выражение вида <S; последнее называется произведением числа, представленного выражением S', на число, представленное выражением S".
При установленном таким образом способе счёта становится непосредственно ясной справедливость правил 1—4 и 6—1Т § 13 [73]. Также нетрудно показать справедливость правила 5 § 13. С этой целью положим, что
S' = sm' То 4- sm' +1 Т[ 4- sm'+42-\-...
и
sr=sm""f" 4- s'v +J тХ 4- smm+* Тз 4-...
174
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
суть два' выражения вида S. Заметим, что, согласно нашему условию, первый коэффициент г'0 из Т'0 отличен от нуля.
Приравнивая одинаковые степени s в обеих частях уравнения
S'S"^Sr\ (2)
мы однозначно определим сперва целое число m", а затем последовательно выражения
П Г/ >!
То, Т\, Тъ...
так, чтобы выражение
S” = sm"To -f- s"1"*1 fl -f- sm"+ 2f2Ar ...
удовлетворяло уравнению (2) при пользовании формулой (1). Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения
S"’S'=S'"’.
Итак, наше утверждение доказано.
Наконец, чтобы сделать возможным упорядочение чисел нашей числовой системы Q(s, t), подчиним её следующему условию: число этой системы называется ббльшим или меньшим 0, в зависимости от того, будет ли первый коэффициент г0, стоящий при Т0 в выражении S, представляющем это число, больше или меньше нуля. Если даны два числа а и b комплексной числовой системы, то говорят, что а<^Ь или что Ь, смотря по тому, будет ли а—b меньше или больше нуля. Непосредственно ясно, что при этом условии правила 13—16 § 13 верны, т. е. что Q(s, t) является дезарговой числовой системой (ср. § 28).
Правило 12* § 13 для нашей комплексной числовой системы Q(s, t) не выполняется, как показывает равенство (1), и, таким образом, теорема 60 полностью доказана.
В силу теоремы 59, предложение Архимеда (предложение 17 § 13) в установленной нами числовой системе 52 (s, t) не выполняется.
Отметим ещё, что числовая система &(s, t) — точно так же как и числовые системы S3 н S!(/), которыми мы пользовались в § 9 и § 12, — содержит только счётное множество чисел.
§ 34. НЕПАСКАЛЕВА ГЕОМЕТРИЯ
175
§ 34. Доказательство обоих предложений, касающихся теоремы Паскаля (непаскалева геометрия)
Если в некоторой геометрии пространства выполняются все аксиомы I, II, IV*, то в этой геометрии имеет место также и теорема Дезарга (теорема 53) и тем самым, согласно последней теореме § 28, в этой геометрии на каждой паре пересекающихся прямых возможно введение исчисления отрезков, подчинённого правилам 1—11,
