Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичный смысл имеют и все другие геометрические понятия и положения. Все они отражают свойства материальных предметов, законы материального мира. Их «идеальный» характер означает просто отвлечение (абстракцию) от несущественных в данной связи свойств материальных вещей, в частности, рассмотрение их лишь с известной степенью точности. Это отвлечение и позволяет выступить наружу в чистом виде тем общим и глубоким свойствам материальных вещей, которые мы называем свойствами протяжённости и изучаем в геометрии. Законы геометрии обязательны для природы потому и постольку, поскольку они из неё извлечены.
Таким образом, истины геометрии, отражая материальную действительность, воспроизводят её приближённо, в упрощённом, схематизированном виде. Именно за счёт отвлечения от бесчисленного множества усложняющих обстоятельств и возникает столь импонирующая стройность и законченность геометрической теории. Но если так, то естественно, что геометрия (речь идёт пока всё время об евклидовой геометрии) не может претендовать на неограниченную приложимость к исследованию материального мира: когда точность этого исследования перейдёт некоторые пределы, то геометрия, по самому своему существу отражающая действительность приближённо, откажется служить.
Чтобы сделать её снова пригодной, нам придётся уточнять её в соответствии с новыми экспериментальными дан-
10
П. К. РАШЕВСКИЙ
ными, нам придбтся возвращаться назад и поднимать то, что было брошено на дороге, откинуто в процессе абстракции.
Но каковы те наиболее бросающиеся в гла'за стороны материальной действительности, от которых мы отвлеклись, строя геометрию? Это, прежде всего, протекающее во времени движение материальных масс. Естественно, что, отказываясь от излишней абстрактности в геометрии, приближая её к материальной действительности, мы должны вернуть в поле зрения процессы движения материи,' а это значит, что геометрия должна рассматриваться в органическом объединении с механикой. «Чистая» геометрия исчезает.
Вей сказанное вовсе не относится только к области теоретических схем: исторически развитие науки в XX веке шло именно по этому руслу. Специальная теория относительности (1905) организовала пространственную и временную протяженность в одно неразрывное целое, а общая теория относительности (1916) сверх того объединила в одну дисциплину геометрию и общее учение о распределении и движении материальных масс. Таким образом, в том разрезе, в каком мы до сих пор говорили о геометрии, она есть часть физики и, следовательно, должна расти и развиваться вместе с нею на экспериментальной основе.
Но в геометрии есть и другая, математическая сторона, иа которую мы до сих пор сознательно закрывали глаза. И эта сторона дела для нас сейчас наиболее важна, так как именно ей посвящена настоящая книга.
ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИКА
До сих пор мы совершенно не затронули вопроса о логической структуре геометрии, а между тем она, пожалуй, наиболее поражает начинающего и требует от него наибольшего напряжения мысли. И это, конечно, не случайно: именно здесь заключена сущность геометрии, если рассматривать ей как отдел математики.
Можно сказать, что геометрия как математика — это геометрия, рассматриваемая с точки зрения её логической структуры. Постараемся вникнуть в это возможно глубже, так как иначе содержание книги останется недоступным
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА И
в своих основных идеях. Для большей конкретности ограничиваемся попрежнему трёхмерной евклидовой геометрией.
Прежде всего ясно, что геометрия не представляет собой просто совокупности предложений, имеющих самостоятельное значение каждое в отдельности. Предложения геометрии связаны густой сетью логических зависимостей. Более точно это значит, что одни предложения можно выводить из других чисто логическим путём, не пользуясь наглядно очевидными, почерпнутыми иа опыта свойствами геометрических образов, а просто применяя правила формальной логики. Так, из предложений «всякий прямоугольник обладает равными диагоналями» и «всякий квадрат есть прямоугольник» следует, что «всякий квадрат обладает равными диагоналями». Для того чтобы сделать этот вывод, совершенно не обязательно представлять себе квадрат с его диагоналями; можно вообще не знать, что такое «квадрат» и «прямоугольник» и что значит «обладать равными диагоналями». Независимо от того, какой смысл будет вложен в эти термины, умозаключение воспроизводит один из рассматриваемых в формальной логике типов силлогизма и потому всё равно остаётся правильным.
Естественно возникает вопрос: каким образом можно охватить, сделать осязательной всю систему формально логических зависимостей такого рода, пронизывающих геометрию, а не только отмечать их на отдельных примерах.
Ответ на этот вопрос даёт аксиоматическое построение геометрии. Его целью является получить в геометрической теории, так сказать, максимум возможного за счёт формально логических умозаключений. Конечно, так как формальная логика учит лишь тому, кйк выводить новые положения из уже данных положений, то «из ничего» формальная логика ничего вывести и не может. Поэтому по крайней мере некоторые из положений геометрии необходимо так или иначе принять в качестве верных, а затем уже попытаться все остальные положения выводить из них путём чисто логических умозаключений.
