Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
так же, как это делалось при установлении равиовеликости по дополнению многоугольников А и А’, В и В'.
Рассмотрим многоугольники А и Л':
А = А -(- в] 4- • ¦ ¦ + ah< А' ~ А' + orj -|-1
и многоугольники В и В'
В=В + Ь, + ... + Ьь В' — В' -\-bi-]----------\-bk.
Согласно условию, теоремы А и А' равновелики по разложению, т. е. их можио разбить на одни и те же (в смысле конгруентности) треугольники
* * * >
Аналогично В к В' разбиваются на одни и те же треугольники
Pl> Рг> • • • > Рq-
С каждым из треугольников я; мы поступаем так. Рассмотрим его в многоугольнике А. Отрезки, разбивающие А иа А -)- ал —j- ... —(— ад, могут проходить и по треугольнику а; и разбивать его на части. Рассмотрим теперь треугольник at в том положении, которое он занимает в А'\ аналогичным образом на ai могут попасть отрезки, разбивающие А' на А'-\- щ + • • • + ал-Нанесём иа at одновременно все попавшие иа него в обоих положениях отрезки деления. Каждый из а/, вообще говоря, разобьётся на более мелкие части, которые мы обозначим
аЦ, • • •. *lst
и которые, после дополнительного разбиения, всегда можио считать треугольниками.
Очевидно, из совокупности всех а(у можно составить все а следовательно, можно составить как А, так и А'. При этом из способа построения а/у видно, что многоугольники A, alt «2, •••, «а в А и многоугольники А', аъ а2, ..., ah в А' разбиты каждый в точности на несколько треугольников ау.
примечания [52—53]
453
Совершенно аналогичным способом мы построим совокупность треугольников Р^-, таких, что нз них можно составить как "В, так н В', причём многоугольники В, Z>i, ..., bk в В и многоугольники В', Ьк в В' разбиты каждый в точности
на несколько треугольников (itj.
Рассмотрим теперь треугольники atj в том их расположении, в каком онн составляют А, и треугольники р^ в расположении, составляющем В.
Будем обозначать коротко через а* те из ац, которые лежат в Л, и через а — те из а;/-, которые лежат вне А, т. е.
В (7j -)“ я2 ~Ь • • • ~Ь ah-
Аналогично, fy, лежащие в В, обозначаем через Р*, а лежащие вне В, т. е. в fr, -(- b2 -f-. ¦ • -f-й*, обозначаем через р.
Очевидно, а* и р* не могут перекрываться; зато а* н р, я и {*, а н Р перекрываться могут.
Возьмём общие части треугольников а н р*, р и а*, а и_Р и пристроим нх (т. е. многоугольники, нм конгруентные) к А н В без перекрытий с А и В н между собой. Полученная фн-тура С, очевидно, равновелика по разложению многоугольнику Р + 2 ?*• составленному каким-нибудь образом нз всех треугольников a, a*, (i, р* (т. е. нз всех atJ- и всех р;у) без перекрытий. При этом та часть фигуры С, которая 'расположена вне А и вне В, очевидно, равновелика по разложению многоугольнику 2 а + 2 ?. составленному каким-нибудь образом нз всех треугольников а и рбез перекрытий, а, следовательно, равновелика по разложению многоугольнику
а1 + а2 +• • • -f- ah + &1 4" f>2 + --h bk,
составленному каким-нибудь образом из at и без перекрытий.
Повторим то же самое построение для многоугольников А' и В'. Фигура С будет равновелика по разложению с С, так как обе онн равновелики по разложению с одним н тем же многоугольником, составленным нз всех а^- и всех рц без перекрытии (ау и рп — общие в обоих случаях, хотя их разделение на а и а*, р и р* может быть н различным).
Далее, часть С', лежащая вне А'-\-В’, равновелика по разложению с частью С, лежащей вне Л-|-В, так как обе они равновелики по разложению с многоугольником, составленным нз «1, а,, ..., ah, Ьь Ьг, ..., Ьь без перекрытий.
Теорема доказана.
[м] Докажем предварительно следующее утверждение: отрезок, соединяющий вершину {А) треугольника с произвольной точкой (М), лежащей на противоположной стороне (ВС), меньше одной нз двух других его сторон (АВ нли АС).
454 примечания [53J
Действительно (см. черт.. 28), так как точка М лежит на отрезке ВС, то отрезки ВМ и МС лежат по разные стороны or прямой AM и углы -QAMB и -QAMC являются смежными. Следовательно, один из них, например, <$ АМВ, наверное, прямой или тупой, а другой (<$ АМС) — прямой или острый (теорема 11). Поэтому, в силу теоремы 22, углы •QBAM и АВМ острые, так как они меньше угла -QAMC. Применяя-к треугольнику АВМ теорему 23, получаем, что
AM < АВ.
Докажем теперь, что отрезок KL, целиком лежащий внутри треугольника, меньше одной из его сторон (черт. 29). В силу леммы 111 в примечании [16], любой луч, исходящий из внутренней точки треугольника, проходит через треугольник один раз. Пусть тот из двух лучей прямой KL, исходящих из К< который не содержит L, встречает треугольник вР;а тот из двух лучей
Черт. 29.
той же прямой, исходящих нз L, который ие содержит К, встречает треугольник в Q.. Очевидно, К и L лежат между Р и Q.
Одна из точек Р, Q, скажем Q, должна лежать на стороне треугольника, например на ВС, другая же либо лбжит иа другой его стороне, например АВ, либо совпадает, с его вершииои А. Из определения неравенства отрезков следует, что
