Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, читатель должен в каждом нз таких случаев отдавать себе отчёт в том, что с точки зрения полной строгости доказательство имеет пробел. Например, в доказательстве теоремы 43 в тексте принято за очевидное, что отрезки одного разложения многоугольника Рд подвергают разложению каждый 4 из треугольников в другом разложении Р3 и обратно; далее, что многоугольники, измельчённого разложения, таким образом пол)-ченного, будут в обоих случаях один и те же; наконец, что каждый многоугольник можно разбить на треугольники.
Таки^ пункты можио вскрыть почти в каждом доказательстве этой главы. По отношению же к понятиям конгруентности доказательства остаются строгими.
[м] Докажем транзитивность понятия «равновелики по дополнению», т. е. докажем, что если многоугольники Р и Q порознь равновелики по дополнению многоугольнику S, то оин равновелики по дополнению друг другу.
Заметим, во-первых, что определение понятия «многоугольники равновелики по дополнению», данное Гильбертом, равносильно следующему: два простых многоугольника Р и Q равновелики по'дополнению, еслн к ним можно присоединить (без перекрытий) конечное число попарно коигруеитных треугольников
дГ-д?, ,д?-д?.............д>д?-
29 д. Гильберг
450 примечания [52]
так, чтобы составленные таким образом многоугольники
Я 4- Af 4» Д 2 -4- • • --4- А* и Q4- АрАз 4- • • <4- ^ *
были равновелики по разложению. В дальнейшем вместо того’ чтобы говорить о паре конгруентных треугольников ДЯ — ДО, мы часто будем говорить об одном треугольнике Д.
Итак, к многоугольникам Р и S мы можем присоединить треугольники Д^, Ag.......ДА так, чтобы полученные в резуль-
тате многоугольники
/>+д;^д;+...4-д;=р' и 5+д;+д5+...+д;=у
были равновелики по разложению. Точно так же к многоугольникам Q и S можно одновременно присоединить треугольники А*. Дг. • • • > А* таким образом, чтобы многоугольники
С4- Aj 4-Дг-!- • • -4" Дл = С>" и S4- д,4-Д24-• • • 4- Дл^"
оказались равновеликими по разложению.
Если теперь к многоугольнику S одновременно присоединять
указанным образом как треугольники Aj, Д2.........д’А, так и
треугольники Aj, Д2,..., Дд, то, вообще говоря, некоторые из треугольников Д' будут перекрываться с некоторыми треугольниками Д". Пусть общими частями этих треугольников служат многоугольники
s%, s2,... ,s,„
и пусть в системах треугольников Д' и Д" после отбрасывания общих частей этйХ двух систем останутся соответственно многоугольники
Рь Pit • ¦ •. Рн> и 9i> ...tk>-
Таким образом (черт. 27),
Pi ~f~/r2 + •¦¦ 4~Ph> 4“ 4- ^2 4- • • ¦ 4- = Aj 4- Дг4- • ¦ ¦ 4- A*-
9i 4- <?2 4- • • • 4~ 4 k’ 4~ si 4- ^2 4- • • ¦ 4" sm — At 4- A24- • • • 4- Д*,-
¦ Обозначим через S* многоугольник, получаемый из многоугольника S-присоединением к нему всех многоугольников pt, s, Присоединим К многоугольнику Р' многоугольники ?1, ft, • • . , 9ft . В результате мы получим многоугольник Р*, равновеликий по разложению с многоугольником S*, так как
9i 4~ 9г4~ • • • 4* .9 S* = S' 4- 4" 9* 4" • • • 4- 9*»-
г Присоединим теперь к многоугольнику Q" многоугольники РъРъ • • • < Pk" ® результате мы. получим многоугольник Q*, также
ПРИМЕЧАНИЯ [52]
451
равновеликий по разложению многоугольнику S*. Следовательно, многоугольники Р* н Q*, порознь равновеликие по разложению многоугольнику S*, должны быть равновелики по разложению. Так как
Р* р1 -(- 4- fa 4- ¦ • • + 4k’ ~
=Р-\-Р\-\-Ръ-\- • • • •4-'sm+?i + 9a + •••+<?'*<*
Q*— Q"Р\Л~ Рг~\~ • ¦ - Л-Ph' —
~Q Я\~\~ я%-\- • ¦ • • • 4*/w>
то оказывается, что еслн к многоугольникам Р и Q присоединить одни и те же многоугольники pb gh s!t то мы получаем многоугольники, равновеликие по разложению; а это н значит, что .многоугольники Р и Q равновелики по дополнению.
Всё наше доказательство, очевидно, сохранится в силе н в том случае, когда множество многоугольников s/ будет пусто, т. е. нн один нз треугольников системы Д' не neper крывается нн с одним из многоугольников системы Д".
Докажем теперь аддитивность понятия «равновелики по дополнению», т. е. докажем, что еслн многоугольники А' и В’ соответственно равновелики по дополнению многоугольникам А
29*
452
ПРИМЕЧАНИЯ [52]
и В, то многоугольник, составленный без перекрытий из многоугольников А и В (мы его будем обозначать A + 6), равновелик по дополнению многоугольнику А' 4- В', составленному из А' и В' также без перекрытий.
Пусть многоугольники, получающиеся в результате присоединения определённым образом к каждому из многоугольников
А и А' треугольников аь ............ah, окажутся равновеликими
по разложению. Пусть то же имеет место для многоугольников В н В' после присоединения к каждому из них треугольников Ь1у Ь2,... , Ьк. Возьмём теперь многоугольники А -\- В и A' -f- В' и присоединим в них к многоугольникам А и А' треугольники аь at,... ,cth и к многоугольникам В к В' треугольники bk,
