Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 151

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 169 >> Следующая


Аналогично, из параллелизма СВ' и ВС' следует, что и В', С' лежат по одну сторону от О. Итак, А', В', С расположены на одном луче, выходящем из О, еслн такое положение вещей имеет место для А, В, С:

[4?] Точнее, если сначала ограничиться построением отрезка ab (не строя Ьа), затем соединить, конец ab с концом отрезка Ь, отложенного на первой стороне угла, то, в силу теоремы Паскаля, полученная прямая параллельна прямой, соединяющей концы отрезка 1 на первой стороне угла и отрезка а на второй стороне угла (черт. 47 в тексте). А это и значит, что отрезок ab является в то же время и отрезком Ьа.

[48] Напомним, что в этой главе мы предполагаем, что в нашей геометрии налицо все аксиомы, кроме аксиом непрерывности; поэтому мы не имеем права «пользоваться циркулем», т. е. окружностью, как непрерывно текущей кривой.

В связи с этим, в нашей геометрии возможны случаи, когда прямая, имеющая точки, расположенные как дальше, так и ближе от центра окружности, чем точки самой окружности, с этой окружностью, тем не менее5 не пересекается (как бы «проскаки-
448

примечания [48—51]

вает» сквозь неё, пользуясь отсутствием непрерывности в нашей геометрии).

[4‘] В связи с теоремой 42 следует подчеркнуть следующее обстоятельство. В исчислении отрезков имеется некоторый произвол, а именно, операция умножения зависит от произвольного выбора отрезка, принимаемого за 1. Однако понятие о пропорции, хотя и основанное на исчислении отрезков, не зависит от этого произвола. Это можно усмотреть из геометрического смысла пропорции (теорема 42).

Следовательно, и теория подобия ие содержит в себе произвола и целиком вытекает из самой геометрической системы.

[60] Когда здесь говорится о расширенном исчислении отрезков, то имеются в виду операции не только над положительными, но и отрицательными отрезками и отрезком-иуль.

Нужио прежде всего отдать себе отчёт в том, что развитое в § 15 исчисление отрезков — теперь можно говорить, положительных отрезков — оперировало над отрезками безотносительно к их положению иа плоскости и к порядку их концов. Теперь же под отрезком мы будем понимать отрезок с фиксированным порядком концов и заданный При этом иа прямой с фиксированным положительным направлением. Допускается совпадение концов (отрезок-нуль).

Равными мы признаём теперь отрезки только в том случае, если оии и конгруентны и направлены оба в положительных или оба в отрицательных направлениях иа тех прямых, которым они принадлежат.

Сложение двух отрезков определяется теперь как построение третьего отрезка, началом которого служит начало первого, а концом—конец второго отрезка, при условии, что оба отрезка отложены иа одиой прямой так, ч-то конец первого отрезка совпадает с началом второго.

Умножение отрезков определяется формально точно так же, как и в § 15 (с той только разницей, что отрицательные отрезки мы будем откладывать от точки 0 по сторонам ие данного прямого угла, а угла ему вертикального).

Проверка свойств 1 — 16 для расширенного исчисления отрезков не представляет никаких принципиальных трудностей.

[61] Уточним данное здесь определение. Мы говорим, что

многоугольник Р разбит на многоугольники Р1+Я2 + +

(везде имеются в виду только простые многоугольники, см. теорему 9), если:

1) многоугольники Рь Р2,...,Рк не имеют попарно общих внутренних точек;

2) внутренние точки многоугольников Ръ Р2,...,Рк являются внутренними точками и для Р;

3) всякая внутренняя точка Р является, обратно, внутренней точкой для одного из Рь Р2,..., Рк нли, по крайней мере,
ПРИМЕЧАНИЯ [51—52]

449

принадлежит его контуру (в последнем случае, как можно доказать, точка принадлежит контуру ещё, по крайней мере, одного нз этнх многоугольников).

Утверждение, содержащееся в тексте, относительно разбиения многоугольника Р на два многоугольника всякой простой ломаной, проходящей внутри Р и имеющей концы на его контуре, является, строго говоря, теоремой, требующей доказательства. Мы не даём здесь этого доказательства, и вообще в этой главе мы не будем претендовать иа полное проведение доказательств в примечаниях. Дело заключается в том, что вопросы, связанные с разбиением плоскости на части многоугольными контурами, являются исключительно громоздкими, если излагать их безукоризненно строго на основании аксиом порядка. Это можно было заметить уже на примере простейшего предложения такого рода — теоремы 9.

Поэтому в рамках этой главы мы — вместе с Гильбертом — усвоим, по необходимости, некоторую дуалистическую точку зрения. Мы не отказываемся от проведения доказательств и даём их в примечаниях в случае отсутствия нх в тексте. Но при этом те моменты в доказательствах, которые связаны с фактами разбиения плоскости на части, мы часто будем принимать на основе их очевидности, опуская нх строгий вывод нз аксиом порядка. Слово «очевидность» здесь нужно понимать не столько в смысле наглядности, сколько в смысле наличия уверенности, что строгое доказательство при желании всегда можно осуществить.
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed