Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
[*’] Ссылка на теорему 36 здесь неуместна, но непосредственно легко усмотреть, что, напрнмер, EF=E\Fi. В самом деле, по теореме 12, треугольники ADE и ADEX конгруентны'; в силу теоремы 15, получаем, далее, <? EAF = ЕХАР\, откуда, снова по теореме 12, следует конгруентность треугольников AEF и АЕ\Р-ь а следовательно, и отрезков EF н Е^Ру
(421 Другими словами, область Q (t) представляет собой некоторое поле: в самом деле, для элементов области, как для алгебраических функций от t, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления с их обычными свойствами, причём результат операции всегда представляет собою опять элемент этой области.
143] С эллиптической геометрией можно познакомиться по книге Богомолова «Введение в неевклидову геометрию Ри-мана», ОНТИ, 1934.
144] На исследуемой плоскости предполагаются выполненными не только аксиомы соединения порядка II н конгруентно-стн III, но н аксиома параллельности IV. Поэтому все теоремы, на которые здесь сделаны ссылки, доказываются совершенно так же, .как н в обыкновенной планиметрии (в частности, сумма углов всякого треугольника равна двум прямым).
Чтобы иметь правильную перспективу при чтении этой главы, нужно помнить, что по сравнению с обыкновенной планиметрией
446
примечания [44—45]
нам недостаёт лишь аксиом непрерывности, прежде всего аксиомы Архимеда. А это сказывается в том, что мы лишены возможности ввести понятие об отношении отрезчов как о числе, так как один из двух взятых отрезков может оказаться как бы бесконечно большим сравнительно с другим. При отсутствии же понятия об отношении отрезков, мы не можем формулировать н понятия о подобии фигур в том виде, как оно формулируется в обыкновенной планиметрии. Между прочим, то обстоятельство, что относительно гипотенузы с, катета а и прилежащего угла i (в прямоугольном треугольнике) в тексте утверждается только, что а есть функция с и а; а — ас, но не говорится, чтоя:е есть функция а,объясняется именно этим отсутствием теории подобия и понятия об отношении отрезков вообше.
Основная цель этой (III) главы — обойти трудности, созданные отсутствием аксномы Архимеда, и построить теорию подобия, годную и в неархимедовой геометрии. А для этого Гнльберт стронт так называемое исчисление отрезков, позволяющее ввести отношение двух отрезков не как число, а как элемент нового исчисления (см. далее, §§ 15 и 16).
[4&] В этом месте доказательства имеется пробел, так как из конгруентности (6)следует только, что основания перпендикуляров либо совпадают, лнбо распоюжены симметрично относительно О. Нужно ещё доказать, что последнее невозможно.
Точка О разбивает каждую нз двух проходящих через неё прямых на два луча; обозначим через 1,2 лучи одной прямой и через 3,4 — лучи другой прямой. Каждому из отрезков /, /*,... ставим в соответствие подстановку (13), (24), если данный отрезок имеет концы на лучах 1,3 или на лучах 2,4, и подстановку (14), (23), если отрезок имеет концы на 1, 4 или на 2, 3. Предоставляем читателю доказать, что параллельным отрезкам будет отвечать обязательно одна и та же подстановка (так как параллельные отрезки будут расположены или по одну сторону или по разные стороны параллельной им прямой, проведённой через О).
Так как путь АС'ВА'СВ’А приводит нас от, исходного луча ОА к нему же, то произведение подстановок указанного вида
(т) (I*) (п) (т*) (I) (л*)
может быть только единицей [здесь (т) обозначает подстановку, отвечающую отрезку тит. д.]. Но в рассматриваемой группе подстановок [(12) (34), (13) (24), (14) (23)] произведение двух подстановок только тогда даёт единицу группы, когда эти подстановки тождественны. Поэтому (т) (/*) (я)= (т*) (I) (п*). В силу параллельности т и т*, I и /*, подстановка (т) совпадает с (т*), а (/) — с (I*). Отсюда
(п) = (п*).
Другими словами, п* имеет концы либо на сторонах того же самого угла, что н п, либо на сторонах угла, ему вертикального.
примечания [45 —48] 447
Поэтому если через О провести прямую пи, параллельную л, то отрезок п'-' лежит либо целиком по ту же сторону от % что и я, либо целиком по другую сторону. Проведём через О перпендикуляр к я (и, следовательно, к я0). Перпендикуляры, опущенные на него из концов я*, будут параллельны я0, а значит, расположены каждый целиком по одну сторону от я0, а так как концы я* лежат по одну сторону от я0, то оба перпендикуляра лежат по одну сторону от п0 и основания их расположены по одну сторону от я0.
Следовательно, случай, когда эти основания расположены симметрично относительно О, невозможен. Это и требовалось доказать.
f46J Это третье доказательство предполагает, что А, В, С лежат на одном и том же луче, выходящем из О, но не предполагает, что ОА' = ОС. Поэтому здесь мы имеем частный случай по отношению к первой формулировке и более общий случай по отношению ко второй формулировке.
Отметим, что из расположения А, В, С по одну сторону от О следует расположение и А', В’, С' по одну сторону ^от О (что молчаливо принимается прн доказательстве во втором и третьем случаях). Действительно, из параллелизма СА' и АС' следует, что оба отрезка расположены либо по одну сторону, либо по разные стороны от параллельной им прямой, проведённой через О. Но второе предположение невозможно, так как отрезок АС не содержит точки О. В таком случае имеет место первое предположение, а значит, отрезок А'С тоже не содержит точки О, и А\ С' лежат по одну сторону от О.
