Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 149

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 169 >> Следующая


что существует точка (х', у'), лежащая одновременно на отрезке

(Xj,yj), (х2, у2) и на прямой (и, V, W), т. е. такая, что

их' -f- vy' -j- w = О xx < x' < x2 или xx > x' > x2 (или то же для у).

Так как прн переходе от (хг, уг) через (х',у’) к (х2, у2) х меняется монотонно н так как выражение ux-f-oy-f-w вместе с у зависит от х линейно и, следовательно, тоже меняется монотонно, то обращение их' 4- vy' -(- w в нуль равносильно тому, что ихх 4- °У1 w и uxi 4" иУг4 w имеют разные знаки.

Аксиома П4 в интерпретации превратится теперь в следующее предложение:

«Пусть даны три точки (л?,, уг), (х2, у2), (х3, _у3) (не принадлежащие одной прямой) и прямая (и, v, ч>), не принадлежащая ни одной нз этих точек, т. е.

их j 4- vy\ 4- w Ф О,

их<г 4- vy2 -j- w Ф О,

их3 4- 4- w Ф 0.

Пусть эта прямая имеет точку (х\ у') на отрезке между точками (хг, ух) н (х2, у2), т. е. uxi-\-vy{-\-w н их24- vy2-f- w имеют разные знаки. Тогда прямая (и, v, w) имеет точку либо на отрезке (xit уг), (дг3, у3), либо на отрезке (х2, _у»), (лг3, j3), т. е. ихъ 4- vy3 4- w имеет разные знаки либо с ихх 4- vyx -f w, либо с ux2-\-vy2-\-Wy>.

Справедливость этого утверждения очевидна, так как поскольку ихх4-иУ\4-w и ux2-[-vy2-{-w имеют разные знаки, то у одного из них должен быть знак, противоположный знаку

«•*«’4- °Уз + w-
444

ПРИМЕЧАНИЯ [38]

[88] Чтобы закончить построение интерпретации, нам необходимо ещё истолковать понятие «конгруентности». Это истолкование Гильберт вводит следующим образом:

Под «конгруентностью» двух отрезков (углов) мы будем понимать возможность получить один отрезок (угол) нз другого с помощью движения.

Прн этом под движением мы будем понимать любое преобразование плоскости в себя, получаемое в результате последовательного выполнения преобразований (трёх типов), заданных в тексте непосредственно нх формулами [под (х, у) следует понимать произвольную точку плоскости, а под (х', у’) — отвечающую ей преобразованную точку].

Таким образом, в интерпретации конгруентность определяется через движение, а движение определяется чнсто аналитически—заданием готовых формул — соответственно аналитическому характеру интерпретации.

Несколько элементарных выкладок, по внешнему виду вполне тождественных с соответствующими выкладками в обыкновенной аналитической геометрии, показали бы нам следующие свойства движения:

1. В силу линейности преобразований линейная зависимость между (х, у) влечёт линейную зависимость между (х', у'): прямая преобразуется в прямую.

2. По той же причине монотонное изменение х в последовательности точек на прямой влечёт за собой монотонное изменение х' в последовательности точек на преобразованной прямой: порядок точек на прямой сохраняется.

3. Последовательное выполнение двух движений даёт снова движение.

Отсюда следует, что в интерпретации выполняется н аксиома Ш<!-

4. Существует движение, меняющее местами стороны данного угла, и движение, меняющее местами концы данного отрезка.

Это позволяет нам совмещать путём движения конгруентные углы так, чтобы наперёд заданная сторона одного совпадала с наперёд заданной стороной другого; аналогично и для отрезков.

5. Существует одно и только одно движение, которое приводит один данный луч I в совпадение с другим данным лучом V так, чтобы данная полуплоскость относительно прямой, несущей /, перешла в данную полуплоскость относительно прямой, несущей

Отсюда сейчас же вытекает справедливость тех предложений, в которые превратятся аксиомы 1П4, III].

6. Если в пункте 5 требовать только совпадения I с/', то движение можно осуществить двумя способами, однако в обоих случаях точки прямой, несущей /, преобразуются одинаково.

Отсюда немедленно вытекает справедливость аксиом 1П5 н 1113 в том истолковании, какое онн получат в интерпретации.
примечания [39—44]

445

Р9] Ссылка на предыдущее замечание не является вполне корректной, так как там речь шла о декартовой геометрии; применяется же отмеченное свойство к новым точкам, гипотетически добавленным к точкам декартовой прямой. Для корректности доказательства нужно показать, что отмеченное свойство действительно должно иметь место н в расширенной совокупности точек. Это нетрудно сделать, если уточнить формулировку аксиомы полноты, что осуществлено в примечании t34].

Мы не останавливаемся на этом более подробно, так как во второй половине примечания [-34] самостоятельно показано, что аксиома полноты выполняется на декартовой прямой, равно как и обратно, наличие аксиомы полноты превращает прямую в декартову прямую.

[40] Речь идёт о так называемой проективной интерпретации неевклидовой геометрии Лобачевского. Сущность её состоит в истолковании геометрических образов н соотношений в пространстве Лобачевского как определённых образов и соотношений во внутренности эллипсоида в обыкновенном пространстве (лучше всего, взятом с проективной точки зрения); как частный случай эллипсоида можно взять и шар. Изложение вопроса можно найти у Ф. Клейна в его книге «Неевклидова геометрия» (ГТТИ, М.-Л., 1936).
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 169 >> Следующая

Реклама

Аэрозольное пожаротушение

газового пожаротушения. Проектирование. Поставка

ruslion.ru

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed