Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Изменим теперь наш.у точку зрения на основные понятия: будем понимать под ними некоторые вполне определённые объекты и соотношения из какой-нибудь области математики, которую мы считаем уже установленной и обоснованной.
Это мы и называем «дать интерпретацию аксиоматической системы». В результате интерпретации каждая аксиома превращается во вполне определённое предложение из той уже обоснованной области математики, которая используется для интерпретации.
Если хоть одно из полученных таким образом предложений окажется неверным, то иаша интерпретация не удалась, т. е. аксиоматика в том конкретном истолковании основных понятий, которое и составляет суть интерпретации, оказывается невыполненной.
Однако отсюда никакого вывода о достоинстве самой отвлечённой аксиоматической системы ещё сделать нельзя, так как причина неудачи может лежать в неподходящем выборе интерпретации.
Если же все предложения, в которые превратились аксиомы в результате интерпретации, окажутся верными, то интерпретация осуществлена, и отсюда следует чрезвычайно важный вывод о непротиворечивости исходной аксиоматическойсистемы.
Действительно, все теоремы аксиоматической системы суть чисто логические следствия аксиом. В результате интерпретации аксиомы оказались истинными предложениями; значит, логически следующие из них теоремы тоже окажутся истинными предложениями (в смысле той области, которая использована для интерпретаций). Поэтому, если бы в отвлечённой аксиоматической системе получились бы две теоремы, противоречащие друг другу, то н в интерпретации также получились бы два истинных предложения, друг другу противоречащих. А это невозможно, так как область интерпретации мы считаем уже обоснованной и свободной от противоречий.
2. Понятие интерпретации станет совершенно ясным, когда мы перейдём к конкретному примеру, именно к рассматриваемой В тексте аналитической интерпретации.
442
ПРИМЕЧАНИЯ [36—37]
В качестве области интерпретации возьмём арифметику чисел поля й, которую будем считать установленной. В дальнейшем под словом «число» мы везде будем понимать «число поля й».
Изменим теперь иашу точку зрения на точки и прямые (мы ограничиваемся интерпретацией плоской геометрии) и на соотношения «прингдлежит», «между» и «конгруентен». А именно, будем понимать под ними не какне-то отвлечённые понятия, подчинённые лишь аксиоматике, а вполне конкретные понятия из области интерпретации:
под точкой—пару чисел (х, у), под прямой — тройку чисел (и, v, w),
причём и, v, w заданы с точностью до умножения на одно и то же отличное от 0 число [так что (ри, pv, pw) будет та же самая прямая, если р — число, отличное от нуля]. При этом и и г/ не должны одновременно равняться нулю.
Под соотношением: «точка (х,у) принадлежит прямой (и, v, W)» понимаем соблюдение равенства
и-* 4- vy + w = 0.
Аксиомы 1г_2 превратятся, очевидно, в предложение:
«Если даны две различные пары чисел (хь ух) и {х2, Уч), го существует одна и только одна тройка чисел (и, v, ю), заданных с точностью до умножения иа общий множитель р ф 0 и удовлетворяющих условиям:
их j -f- vyx 4-w — 0,
их., 4- vy2 4- w = 0,
причём и и о одновременно не обращаются в иуль».
Мы получили предложение из области интерпретации, т. е. из арифметики чисел поля й, которое a priori может оказаться и верным и неверным. Однако, вникая в это предложение по существу, т. е. исследуя пару однородных уравнений относительно it, v, w, мы убеждаемся в его правильности.
Так же легко записать те предложения, в которые превратятся аксиомы 13 и IV, и проверить их правильность. Это мы предоставляем читателю.
[эт] Будем рассматривать точки (х, у), принадлежащие данной прямой (и, v, w). Тогда имеет место равенство:
их 4- vy 4- кв = О-
Так как х и у связаны линейной зависимостью, то монотонное изменение х вызьшает и монотонное изменение у и обратно (если только одио из переменных х, у не остаётся постоянным).
Продолжаем построение аналитической интерпретации. Будем понимать под соотношением: «точка (х2, у2) лежит между точ-
ПРИМЕЧАНИЯ [37]
443
ками (хь yi), (х3, у3) (иа дайной прямой)» наличие хотя бы одного из следующих арифметических соотношений:
Х\ < х2 < *3. *1 > хг > *з.
Ул<Уч<У%> У1>Уз>Уз-
(Как было только что отмечено, наличие одного соотношения из верхней строки влечёт наличие одного соотношения и из ннжней строки, еслн только у не остаётся постоянным вдоль данной прямой, н обратно.)
Тогда аксномы группы II превращаются в предложения из теории неравенств в области чисел поля Q. Все этн предложения оказываются правильными, в чём можно убедиться совершенно тривиальным образом для аксиом 11г_з.
Мы остановимся поэтому только на аксиоме II*
Сначала выясним, какой смысл имеет в интерпретации утверждение: точки (х,, yt) н (х», у3) лежат по разные стороны от прямой [и, v, w). По определению это значит,
