Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, при выполнении требований 1, 2, 3, 4, мы можем ввести на прямой координаты со свойствами I), II), III).
Обратно, если возможно введение такого рода координат, то требования 1, 2, 3, 4 выполняются. Совершенно очевидную проверку этого предоставляем читателю.
При описанном здесь введении координат на прямой линии естественно возникает вопрос: исчерпывает ли совокупность действительных чисел, служащих координатами всевозможных точек на прямой, всю совокупность действительных чисел или иет?
Рассмотрим сначала вторую возможность. Пус!Ь координата х принимает не все действительные значения, т. е. существуют такие действительные числа, которым не отвечает никакая точка на прямой. Каждое из таких чисел мы будем называть новой точкой и их совокупность присоединим к совокупности имеющихся точек иа прямой. В расширенной совокупности точек уже каждому действительному числу отвечает точка, и обратно.
Понятия «между» и «конгруентен» в расширенной совокупности мы определим следующим образом.
Мы скажем, что точка х2 лежит между точками хл и лг3, если X] < х-i < х8 или хг > х2 > х3.
Здесь под х1р х3, х8 подразумевается или координата соответствующей точки, если точка старая, или сама эта точка, если точка новая. Очевидно, в применении к старым точкам определённое здесь понятие «между» имеет прежний смысл.
Мы скажем, что один отрезок с концами х2 > Xj конгруентен отрезку с концами х'^х'^ если
х3 —х1=х^—х'.
Сиова ясно, что в применении к старым отрезкам определённая здесь конгруентность сохраняет прежний смысл.
Наконец, понятия «между» и «конгруентен» в расширенной совокупности точек продолжают удовлетворять требованиям
1, 2, 3, 4, как показывает элементарная проверка.
Следовательно, произведено расширение совокупности точек иа прямой, запрещаемое аксиомой линейной полноты.
Итак, если значения координаты х не исчерпывают всех действительных чисел, то аксиома полноты ие имеет места.
Покажем, что верно и обратное. Пусть аксиома полноты ие имеет места. Тогда к совокупности точек на прямой можно при-
440
примечания [34—35]
соединить новые элементы с соблюдением условий а), Ь), с). Но тогда в расширенной совокупности возможно ввести координаты тем же способом, сохранив даже прежние точки О (начало) и А (единица). Это значит, что каждая точка расширенной совокупности получит определённую координату, причём старые точки сохранят прежние координаты. Но в таком случае координаты старых точек не исчерпывали всех действительных чисел, так как часть их будет использована в качестве координат новых точек.
Итак, н е в ы п о л н е и и е аксиомы линейной полноты равносильно тому, что координаты точек на прямой ие исчерпывают всех действительных чисел. Прямолинейный ряд точек, грубо говоря, имеет «пробелы».
Следовательно, сама аксиома линейной полноты равносильна требованию, чтобы точки прямой могли быть поставлены во взаимнооднозначное соответствие со всемн действительными числами, причём геометрический порядок следования точек отражается арифметическим порядком по признаку >,<, а гёометрнческая конгруентность отрезков — равенством дг3— хх = х'— х
и 1
Коротко говоря: для того чтобы выполнялась аксиома полноты, необходимо и достаточно, чтобы прямая была декартовой, т. е. чтобы она допускала взаимно однозначное отображение на прямую в смысле обычной аналитической геометрии с сохранением порядка точек и конгруентности отрезков.
При введении координат иа прямой мы использовали требования 1, 2, 3, 4. Особенно следует- обратить внимание иа роль требования 4 (аксиома Архимеда). Именно оно дало нам возможность «измерять» один отрезок другим, выражая результат «измерения» конечным числом. При отсутствии аксиомы Архимеда у нас одни отрезки были бы «бесконечно велики» сравнительно с другими, и числовой системы координат мы не смогли бы получить.
[35] В самом деле, аксиомы I-*-V определяют геометрию трёхмерного евклидова пространства; можно поместить это пространство в качестве трёхмерной плоскости в четырёхмериое евклидово пространство. Будем рассматривать все точки, прямые н двумерные плоскости этого четырёхмерного пространства (а не только принадлежащие трёхмерному его подпространству). Нетрудно поверить, что все аксиомы I—V будут удовлетворяться и в этой расширенной области, за исключением аксиомы 17: в четырёхмерном пространстве две двумерные плоскости могут пересекаться в одной точке (н это будет даже общим случаем).
Таким образом, расширение совокупности элементов с сохранением всех аксиом, кроме 17, оказывается возможным.
ПРИМЕЧАНИЯ [36|
441
[*] Мы имеем здесь дело с некоторой интерпретацией нашей аксиоматической системы. Поясним прежде всего самую идею интерпретации.
1. Развивая аксиоматически геометрию, мы имеем основные объекты: «точки», «прямые», «плоскости» и основные соотношения: «принадлежит», «между» и «конгруентен» (последнее — в применении к производным объектам: отрезкам и углам). В основные понятия мы не вкладываем никакого содержания сверх того, что сказгно о них в аксиомах; в этих последних должно содержаться всё, что нужно для построения геометрии путём чисто логических умозаключений.
