Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 145

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 169 >> Следующая

ПРИМЕЧАНИЯ [34]

435

2. Возможно откладывать по данную сторону от данной точки отрезок, конгруентный данному отрезку, и притом единственным образом.

3. Конгруентность отрезков обладает свойствами транзитивности и взаимности; две суммы отрезков при соответственно конгруентных слагаемых конгруентны между собой (аксиома II13).

Как следстние, отсюда вытекает лемма примечания [2е] (стр. 426), а из неё — теорема 20 в применении к отрезкам и вся теория сравнения отрезков (см. примечание [38], стр. 427—428).

4. Имеет место аксиома Архимеда.

Поставим следующую задачу: дополнить совокупность точек на прямой новыми элементами так, чтобы:

a) в расширенной совокупности были определены понятия «между» для точек и «конгруеитеи» для отрезков (отрезок понимается как пара точек);

b) в применении, в частности, к старым точкам и старым отрезкам эти понятия имели прежний смысл;

c) в расширенной совокупности понятия «между» и «кон-груентеи» продолжали удовлетворять требованиям 1, 2, 3, 4.

Аксиома линейной полноты: указанное выше расширение совокупности точек на прямой невозможно.

Для уяснения логической природы аксиомы полноты весьма существенно следующее. Предположим, что мы, сохраняя прежнюю формулировку этой аксиомы, уменьшим число требований, перечисленных в пунктах 1, 2, 3, 4. Тем самым на расширение совокупности точек иа прямой теперь накладывается меньше требований, чем раньше. А потому все прежние случаи, когда расширение было возможно, остаются и теперь, но кроме них, возможно, появятся и новые.

Но аксиома линейной полноты исключает такое положение вещей, когда расширение возможно; следовательно, в новой формулировке она исключает большее количество случаев.

Следовательно, ослабление требований 1—4 Означает усиление аксиомы полноты. При чрезмерном ослаблении этих требований аксиома может стать настолько «сильной», 4fo вступает в противоречие -с остальными аксиомами. Это происходит, например, при выкидывании из требований 1—4 аксиомы Архимеда. Это же происходит и при буквальном понимании формулировки, данной в тексте, где число требований значительно меньше, чем в наших пунктах 1—4.

Действительно, покажем, что расширение совокупности точек на прямой всегда возможно, если из требований 1, 2, 3, 4 выкинуть всего лишь аксиому Ш3 (конгруентность сумм отрезков при конгруентности слагаемых). Тем самым аксиома линейной полноты будет приводить нас к противоречию.

Для наглядности будем исходить из совокупности точек обыкновенной числовой прямой. Дублируем каждую из её точек А,

28*
436 примечания [34]

присоединяя к совокупности точек новую точку -А*. Условимся считать, что А* лежит правее А, причём по отношению ко всем остальным точкам Л* расположена так же, как и А. Другими словами, мы помещаем А* «непосредственно рядом» с А справа от неё.

Назовём отрезками 1-го рода те, оба конца которых являются либо старыми, либо новыми точками (АВ. или А*В*), и отрезками 2-го рода — те, у которых один коиец — старая точка, а другой — новая (А*В или АВ'*); условимся считать, что В всегда лежит правее А*, а В* — правее А. В частности, здесь возможен отрезок АА*. Примем, что отрезки разного рода никогда не бывают конгруентны между собой. Что же касается отрезков 1-го рода, то они считаются конгруентными, если их длины равны (прн этом под длиной А*В* понимаем длину АВ).

Так же определяем конгруентность между отрезками 2-го рода, причём под длиной А*В всегда понимаем длину АВ, а под длиной АВ';—длину АВ, за исключением тех случаев, когда длина АВ — целое число (в частности нуль — в случае АА*). В этих случаях под длиной А В* мы понимаем длину АВ плюс единица.

Нетрудно проверить, что в расширенной совокупности точек числовой прямой соблюдены все требования 1, 2, 3, 4, за исключением аксиомы 1113. Итак, даже такое скромное ослабление требований 1, 2, 3, 4 делает расширение всегда возможным, а значит, аксиому линейной полноты — приводящей к противоречию.

Мы показали это, исходя из числовой прямой. Если же исходить не из числовой прямой, а из любой прямой, на которой выполнены требования 1, 2, 3, 4, то это будет тем более верно, так как такую прямую всегда можио рассматривать как «часть» числовой прямой (см. ниже).

Особенно выпуклый характер акснома полноты приобретает, если подойти к ней с другой точки зрения.

Покажем, что требования 1, 2, 3, 4 равносильны возможности приписать каждой точке прямой координату* (действительное число), так, что

I) разным точкам отвечают разные координаты, причём точка х% лежит между точками jfj и дгд тогда и только тогда, когда д?! <дг2 < х3 или дг1>д:3>д:3;

II) два отрезка конгруентны тогда и только тогда, когда

Хо—Хх—Х'—Х',

1 2 1

где д?! < х2 — координаты концов одного отрезка, а дг ^ < х^—

координаты концов другого отрезка;

III) если jcj, хг суть координаты некоторых точек, то и д?1 ± х3 будут координаты некоторых точек.
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed