Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эта связь сохраняется и в области математики, причём здесь можно итти двумя путями: либо в основу класть движение, задавая его аксиоматически, а конгруентность определять указанным образом через движение; либо — как делает Гиль-
ПРИМЕЧАНИЯ [33]
433
берт — в основу класть аксиоматически данное понятие конгруентности и уже посредством его определять движение.
А именно, назовём движением (в широком смысле, включая сюда зеркальные отражения) такое взаимно однозначное отображение совокупности точек пространства в себя, при котором всегда
АВ^А'В',
где А, В — произвольные точки пространства, а А' и В' — точки, им отвечающие в отображении.
Таким образом, движение характеризуется тем, что к а-ждая фигура (-4, В, ...) преобразуется в фигуру (А', В', ...), ей коигруеитную. Отсюда, в частности, легко вывести (повторением рассуждений примечания 32, начало доказательства теоремы 28), что точки, лежащие на одной прямой, преобразуются в точки, снова расположенные на одной прямой, т. е. прямые преобразуются в прямые. Следовательно, плоскости преобразуются в плоскости и т. д.
В этой связи роль теоремы 29 заключается в том, что оиа доказывает возможность движения и определяет степень его произвола.
Пусть ABC и А'В'С' — два произвольно заданных конгру-ентиых между собою треугольника. Возьмём ещё точку D вие плоскости ABC. Тогда, по теореме 29, точке/) можно поставить в соответствие точку D' так, что имеет место конгруентность между фигурами
(А, В, С, D) и (-4', В', С', D').
По той же теореме 29, каждой точке Я пространства будет отвечать одна и только одна точка Р', такая, что фигура
(Я', А', В', С', D') конгруентиа (Я, А, В, С, D). (1)
Мы утверждаем, что такое преобразование произвольной точки Я в соответствующую ей точку Я' будет движением.
В самом деле, пользуясь той же теоремой 29, поставим к соответствие какой-то другой точке Q точку Q' так, чтобы имела место конгруентность между фигурами
«?', Я', А', В', С', D') и «?, Я, А, В, С, D). (2)
Так как конгруентность сохранится, если из фигур выкинуть точки Я и Я', то
(Q'A'B'C'D1) конгруентна (QABCD). (3)
Сравнивая (1) и (3), мы видим, что Q преобразуется в Q\ и Я преобразуется в Я' одним и тем же преобразованием, установленным нами, исходя из конгруентных тетраедров ABCD и A'B'C'D'. При этом, в силу (2), PQ^P'Q'.
Итак, иаше преобразование есть движение.
28 Д. Гильберт
434
ПРИМЕЧАНИЯ [33—34]
Что же касается степени произвола в выборе движения, то здесь дело обстоит так.
Пусть нам дана точка А, выходящий из неё луч а н примыкающая к прямой луча а полуплоскость а. Пусть А', а', а' означает аналогичную конструкцию, взятую каким-то другим образом. Построим треугольник ЛВС, взяв точку В на а и С на а произвольно. Далее, как нетрудно сделать, построим треугольник А'В'С', конгруентный ABC, так, чтобы В' лежала иа а' и С' иа а'. Тогда, как показано выше, существует движение, переводящее ABC в А'В'С', а следовательно, конструкцию (А, а, а) в конструкцию' (А', а', а').
Небольшое добавочное рассуждение показало бы, что такое движение' может быть осуществлено лишь двумя способами (двойственность вытекает из того, что, осуществив движение, к нему можно присоединить ещё зеркальное отражение относительно плоскости а').
Таким образом, если игнорировать эту двузначность, движение определяется заданием конструкции (А\ а', а'), в которую должна перейти данная конструкция (А, а, а).
Совершенно непосредственно из определения движения следует, что движения образуют группу, т. е. что
1) тождественное преобразование есть движение,
2) преобразование, обратное движению, есть тоже движение,
3) последовательное выполнение двух движений даёт снова движение.
Как известно, выполнение этих условий для совокупности взаимно однозначных отображений некоторого множества на себя и означает, что такая совокупность есть группа.
Мы не даём доказательства теоремы 29, так как оно может быть проведено по аналогии с доказательством теоремы 28 с использованием плоскостей вместо прямых. В качестве первого шага нужно показать, что в конгруентных фигурах точки, лежащие на одной плоскости, отображаются в точки, тоже лежащие иа одной плоскости.
[34] Аксиома линейной полноты формулирована в тексте столь неточно, что при буквальном понимании приводит систему аксиом к противоречию. Мы дадим поэтому уточнённую формулировку этой аксиомы (и сам автор в § 9 пользуется ею не в том виде, как оиа формулирована в тексте).
Перечислим прежде всего четыре известных нам свойства точек и отрезков на прямой:
1. Всякие п точек можно занумеровать таким образом, что точка лежит между двумя другими тогда и только тогда, когда её номер имеет промежуточное значение. ¦
Как следствие, отсюда вытекает, что каждая точка разбивает прямую на два луча.
