Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
в с с с', то АС < А'С'.
Черт. 22. Следствие. Если условие теоре-
мы прежнее с той лишь разницей, что теперь и АВ < А'В' и ВС < В’С', то попрежиему АС < А'С’.
Для доказательства достаточно ввести вспомогательные три точки на какой-нибудь прямой а0 в порядке А0, В0, Сй так, что AoBq = AB, В0С0 = В'С'. Тогда, в силу транзитивности, ВйСй > ВС, АоВо < А'В’.
Из первого неравенства следует: 40Со > АС, а из второго А'С' > АйС0, откуда
А’С' > АС.
Итак, грубо говоря, при увеличении слагаемых увеличивается и сумма отрезков.
[®] Если I' лежит внутри угла а, то, по определению, I" лежит от I по одну сторону с Л и, следовательно, по разные стороны с ft, т. е. вие угла р. Так как /" лежит с / по одну сторону от ft (по построению) и вие угла (ft, I), то, по доказанному в примечании 24, / лежит внутри угла <?(?, Отсюда и вытекает <(ft, /)<<(ft, I"), т. е. P<<(ft, I")..
Что же касается предыдущего утверждения, что I" лежит либо внутри а, либо внутри р, то оио вытекает из следующего. По построению Г лежит по одну сторону с / и от ft и от ft (что одно и то же); далее, по какую бы сторону от I ни лежал бы он будет лежать либо по ту же сторону, что и Л, либо по ту же сторону, что и ft. По определению виутреииости угла (стр. 68), первое означает, что Г лежит внутри а, а второе — что I" лежит внутри р.
[s°] Докажем эту теорему от противного. Пусть существует пара ие конгруентных треугольников ABC и А'В'С', обладающих свойствами, указанными в условии теоремы 25. В этих треугольниках -^Вф-^В', так как иначе они были бы конгруентны,
ПРИМЕЧАНИЯ [30—32]
429
в силу теоремы 13. Положим для определённости, что <? В' < <? В. При луче В А отложим угол p = <JS' по ту сторону прямой АВ, по которую лежит точка С. В силу определения неравенств между углами, луч ВС' с" г
пройдёт внутри угла ¦QABC (черт. 23), а в силу примечания [1в],4, он пересечёт отрезок АС в некоторой точке — мы её обозначим буквой D. Черт. 23.
В силу теоремы 13
Д ABD=/\A’B'C', и, следовательно, *$.ADB=*% А'С'В'^^АСВ. Но, в силу теоремы 22, ADB > <5 АСВ'. Таким образом, наше предположение о том, что теорема 25 неверна, привело нас к • противоречию.
[31] Докажем, что если точки одного из конгруентных рядов упорядочены так, что точка Q лежит между точками Р и R, то соответствующие им точки также следуют в порядке P',Q',R'. Предположим, что это утверждение неверно. Тогда либо точка Р лежит между точками Q' и R', либо точка R' лежит между точками Р' и Q'. Докажем невозможность первого предположения. Для этого отложим на прямой а от точки Р со стороны, противоположной лучу PR, отрезок PQ'',
О” Р Ч_t конгруеитный отрезку PQ, а сле-
довательно, в силу аксиомы 1П2
н______| ! . и Q'P' (черт. 24). Как отрезки Q"P
Р р' *' и PR, так и отрезки Q’P’ и Я'/?'
u 0, не имеют общих точек. Поэтому,
Р в силу аксиомы II13, Q"R = Q'R\
а в силу конгруентности рассматриваемых нами точечных рядов, Q'R’ = QR, откуда, по аксиоме 1И2, Q”R = QR. Но порядок следования, который мы можем приписать точкам на прямой а по теореме 5, будет обязательно Q''PQR (иной порядок противоречил бы Построению), т. е. точки Q и Q" лежат по одну сторону от точки/?; поэтому конгруентность Q”R = QR противоречит требованию однозначности откладывания отрезков (стр. 70).
Предположение, что точка R' лежит между точками Р' и Q', опровергается совершенно таким же рассуждением.
[32] Для доказательства теоремы 28 иам понадобится одна известная теорема.
Теорема. Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.
Доказательство. Требуется доказать, что АВ < AC -j- СВ, если А, В, С не лежат на одной прямой.
430
ПРИМЕЧАНИЯ [32]
Отложим на прямой АС от точки С отрезок СВ', конгруеит-ный СВ, так чтобы В' и А лежали по разные стороны от С (черт. 25). Так как точка С лежит между А и В', то С попадает
внутрь угла /466', а следовательно, и луч ВС идёт внутри АВВ' (см. примечание [1в]).
Отсюда
< ABB' > СВВ’.
Но, по теореме 11, -ЦС-BB'^s = <5 СВ'В, а следовательно,
< АВВ' > ^ СВ'В.
По теореме 23: АВ' > ЛВ, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 28.
1. Рассмотрим сначала случай, когда Р лежит на одной прямой с двумя точками фигуры, например, А и В.
Если искомая точка Р' существует, то оиа может лежать только на прямой А'В'. Действительно, в противном случае каждый из отрезков А'В', А'Р', В'Р' был бы меньше суммы двух других. В силу конгруентности фигур, каждый из отрезков АВ, АР, ВР тоже был бы меньше суммы двух других; на самом же деле один из иих обязательно равеи сумме двух других в силу расположения точек А, В, Р на одной прямой.
