Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 141

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 169 >> Следующая


Доказательство Отложим от точки А' по лучу А'С' отрезок А’В' так, чтобы А'В' == АВ (черт. 21). Этим точка В' однозначно определитси (см. следствие

,_______I •- | из аксиомы 1П5). Далее, от точки Д'от-

л s с ложим отрезок В'С' так, чтобы В'С'=

|-------и----ыж = ВС и чтобы С’ лежало с А' по раз-

А 1 С' С ные стороны от В'. Тогда, по аксиоме

1113, АС = А’С". Следовательно, по ак-Черт. 21. сиоме 1П2, А'С' = А'С".. Отсюда выте-

кает, что точки С'и С' совпадают (С и С" лежат по одну сторону от А': по построению В' взято по ту же сторону от А', что и С' и, далее, С взято так, что В' лежит между А' и С", значит, А' вне В'С" и, следовательно, С' лежит по ту же сторону от А', что и В'). Очевидно, что точка В’ и есть искомая точка.

Доказательство теоремы 16. Возьмём на лучах h, к точки Н и К произвольно, а на лучах h', k’ точки Д' так, что (аксиома III]):

ОН^О'Н’, 0К=0'К’

(где О, О' — вершины углов).

По теореме 12 треугольник ОНК конгруентен треугольнику О'Н'К', в частности НК = Н'К'-

Луч /, проходя внутри <5 (h, к), встречает отрезок НК в некоторой точке L (см. примечание [19],4). Пользуясь леммой, гозь-мём на отрезке Н'К' точку L' так, что

HL = H'L', LK=L'K’.

Луч O'L' удовлетворяет требованиим теоремы. Во-первых, он проходит внутри (h', к'), так как L' лежит внутри (Л', k ) (примечание [19], 3). Во-вторых, треугольник OHL конгруентен О'Н L', так как

ОН^О'Н’, HL = H'L\ <5 OHL = <5 O'H'L'
ПРИМЕЧАНИЯ [26—28]

427

(последнее вытекает из коигруеитности треугольников ОНК и О'Н'К'). Следовательно, Я0? = Я'0'Z/. Совершенно анало-

гично ^KOLs^q.K'O'L'.

[37] Чтобы применить теорему 15, необходимо предварительно убедиться, что если лучи ZyX и Z{Y лежат по разные стороны прямой Z1Z2, то и лучи Z%X, Z^Y лежат по разные стороны прямой Z(Z2 и аналогично—в случае расположения по одну, сторону.

В самом деле, лучн ZxX и Z%X лежат всегда по ту же сторону от прямой Z\Z2, что и принадлежащая им точка X, а лучи Z{Y и Z2Y — по ту же сторону, что и точка К. Поэтому, когда X и V лежат по разные стороны от ZjZо, то это же имеет место и для лучей Z}X, ZiY, и для лучей 2гХ, Ztf одновременно.

Когда же X к У лежат по одну сторону от Z]Z2, то это же имеет место одновременно для каждой из этих двух пар лучей.

[38] Ничего не меняя в доказательстве теоремы 20, можио формулировать её несколько шире: пусть лучи k, I лежат по одну сторону от h, и лучи к', V — по одну сторону от Л', причём <$(Л, /) = <5 (Л', /') и <$(Л, Л) = <3; (Л', к'). Тогда если к' лежит внутри <$(/!', I'), то k лежит внутри (Л, /) н наоборот.

Такая формулировка позволяет сравнивать углы, откладывая их от любого луча (по данную его сторону) без изменения результата. Теперь утверждение 2) вытекает немедленно нз следующего обстоятельства. Если сравнивать углы а и р, «накладывая» р на а, то никакого изменения не произойдёт при замене ji конгруентным ему углом у. Точно так же в утверждении 3) следует считать, что р сравнивается с у путём «накладывания» р на у; заменяя в этой операции р конгруентным ему а, мы не получим никакого изменения в результате.

Утверждение 1) проверим следующим образом. «Наложим» углы а и к на ji; тогда, если у, р, а займут соответственно положения <$(Л, *i), •$. (А, к2), <3;(Л, к3), то, как иам дано, Л2 будет лежать внутри (Л, fc3), a — внутри (К &2). Требуется доказать, что лежит внутри <$(Л, &3); это и будет означать, что а > у. Но соответствующее утверждение доказано в примечании [19], пункт 5 (стр. 421).

Что же касается сравнения отрезков, то оно будет являться упрощённым повторением соответствующей теории для углов. А именно, мы скажем: АВ > CD или AB<CD, еслн при откладывании АВ от точки С по лучу CD мы попадём вовне или, соответственно, внутрь отрезка CD.

Далее, можно формулировать теорему 20 для отрезков и дословно повторить её доказательство (только ссылаясь не иа теорему 16, а на лемму нз примечания [*] на стр. 426). Эта теорема, как и в случае углов, имеет то значение, что позволяет нам \'тверждать, что AB>CD означает то же самое, что CD < АВ. .
428

примечания [28—30]

Наконец, доказательство транзитивности соотношения > для отрезков является повторением вышеприведённых рассуждений для углов (с некоторым упрощением).

Докажем ещё одну простую теорему:

Если на прямой а даны три точки в порядке А, В, С, а на прямой а'—т ри точки в порядке А’, В', С', причём

АВ = А'В', ВС < В'С, то АС < А'С'.

В самом деле (черт. 22), отложим на луче В’С' от точки В'

отрезок В'С". конгруентный ВС', тогда С" попадёт между В'иС' по определению соотношения ВС<^ В'С'.

I 2-------Е-------------1 а Порядок точек на а может быть, очевидно, только ABC С'. По аксиоме Ш3:

Z t t ’if' АС == А'С', а'так как С" лежит между
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed