Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 140

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 169 >> Следующая


например, по одну сторону от Л, то опять-таки их можно соединить-отрезком АА'. Действительно, в этом случае отрезок АА' не имеет точек на Л; кроме того, он ие имеет точек и на луче ft—иначе точки А, А' лежали бы с той же стороны от h, что и луч ft, и одна из точек А, А' лежала бы с той же стороны от ft, что и луч ft, т. е. внутри угла <? (ft, k).

Пусть теперь точки А и А' лежат по разные стороны как прямой h, так и прямой ft. Пусть при этом, для определённости, А лежнт по одну сторону с ft от ft; тогда А лежит с ft по разные стороны от h (иначе А было бы^ внутри угла), а значит, А1 лежит по одну сторону с ft от h; наконец, А' лежит с Л по разные стороны от ft (иначе А' было бы внутри угла).

Возьмём теперь произвольную точку N, лежащую внутри угла ft'), т. е. по разные стороны от ft с лучом ft и по

разные стороны от Л с лучом Л.Очевидно.М лежит вне угла <? (Л, ft) и в то же время по одну сторону от h вместе с А и по одну сторону от ft вместе с А'. Тогда AN н NA', по только что доказанному, не имеют общих точек с Л и ft, так что ANA' есть искомая ломаная.

[*°] Под «откладыванием» угла у Гильберта следует'понимать не построение угла с помощью каких-либо инструментов, например, с помощью циркуля и линейки, а факт существования луча, определяющего угол, конгруентный данному. В соответствии с этим, под единственным способом построения следует понимать существование только одного такого луча.

[21] Действительно, если в треугольнике ABC стороны АВ и ВС конгруентны, то можно написать:

АВ = ВС, ВС =а» АВ, <$АВС=<$СВА

(в силу иторой части аксиомы Ш4). Поэтому, в силу аксиомы П15,

<5 ВАС э« ВСА

(аксиома Н15 применяется здесь к дважды взятому одному и тому же треугольнику: первый раз—в качестве треугольника ABC, иторой раз — в качестве треугольника СВА).

р] В самом деле, достаточно доказать, что АС == А'С'. Допустим, что этого нет; построим на луче А'С' точку D' такую, что /4С= A'D'. Тогда, по аксиоме Ш5: <5 ABC = <5 A'B'D'", кроме того, по условию теоремы: -^АВС^^А' В'С' ¦ Мы вступаем в противоречие с аксиомой IП4 (угол, которому конгруентен угол -QABC, оказался отложенным двумя разными способами).
примечания [23—25]

425

[23] Во всех рассуждениях симметрия конгруентности для углов не предполагается, т. е., <5 ABC в <5 А'В’С' и <5 А'В'С' = =<$АВСозначает не одно и то же. То же относится, следовательно, к конгруентности треугольников. В частности, в только что проведённом рассуждении все конгруентности следует читать «нз верхней части чертежа в ннжнюю». Симметрия будет вытекать только из теоремы 19.

[3*] Теорема. Пусть к, h, /—л учи, выходящие нз одной точки О, причём к н А лежат по одну сторону от I (где/ — прямая, содержащая луч /). Тогда л н-бо * внутри<^(/, ft), a ft вие <5 (/, к), либо А вие (/, /г) а

h в ну т рн <?(/, к).

Доказательство. Допустим, что к лежит вне <5 (/, ft),

(черт. 20). Тогда к и I лежат по разные стороны от к [в противном случае, учитывая что к и ft лежат по одну сторону от I, мы получнлн бы, что к попадает внутрь (ft, /)].

Поэтому, соединяя отрезком две произвольные точки К и L на к и I, мы пересечём прямую ft в некоторой точке Н. Так как Н лежнт между KnL,toL лежнт вне КН. Следовательно, точки К» Н расположены по_одну сторону от /, а так как К взято на к, то К к Н лежат от I по ту сторону, где лежит луч к, а вместе с ним н луч ft (по условию теоремы). Отсюда следует, что точка Н, находясь на прямой ft по ту сторону от I, где лежнт луч ft, попадает именно на луч ft (а не на дополнительный луч ft').

.Так как точка Н внутренняя для угла к) (см. примечание р], 1), то н ' луч ft лежит внутри угла <? (/, к) (см. примечание [19], 3).

Итак, случай расположения к вне <? (/, h) н А вне <? (/, к) невозможен.

Случай расположения к внутри <? (/, ft) и ft внутри (/, к) тоже невозможен: в этом случае отрезок h'L, соединяющий какие-то две точки на к и /, обязательно встречает h в некоторой точке Н (примечание [19], 4). Но по той же причине отрезок HL должен встречать луч к, т. е. одновременно Н лежнт между L и К н К между L я Н, что невозможно (аксиома Н3).

[35] Проведём доказательство для случая, когда h, к лежат но разные стороны I и ft', к'—по разные стороны I’.

Рассмотрим дополнительный к ft луч ft той же прямой н дополнительный к И! луч ft'.
426

примечания [25—26]

Лучи h, к лежат по одну сторону /, так как оба лежат по другую сторону I по сравнению с лучом h.

Лучи h!, к', аналогично, лежат по одну сторону Так как нам дано «ЗС (Л, /) а= <ЗС (Л', /'), то, в силу теоремы 14, (Л, /) (%', V).

Кроме того, дано (к, /)=г *?(?', /').

Применяя теорему 15 в доказанном уже случае (к лучам I, к, ~h), гголучим:

<(A. k)^<$(h',k>), отсюда, в силу теоремы 14:

<(А. А) = <(А', к’).

[-в] Лемма. Пусть даны два конгруентных отрезка, АС = А'С'. Тогда для всякой точки В на АС можно указать точку В’ на А'С так, что АВ=А'В', ВС = В'С'.
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed