Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
422
ПРИМЕЧАНИЯ [19]
Если луч / лежит внутри у г л a (ft, т), а луч k — вн7три угла <? (Л, т), то луч / лежит внутриугла <(А,т) (черт. 18).
Пусть точка Н лежит на луче А, а точка М— на луче т. Согласно доказанному в пункте 4, луч k встречает отрезок НМ в точке К и, далее, луч / встречает отрезок КМ в точке L. Согласно теореме 5, точки Н, К, L, М лежат на прямой НМ в указанном или обратном порядке, т. е. точка L лежит на отрезке НМ. Следовательно, в силу доказанного в пункте 1, луч / лежит вну-
1 три угла <5 (А, т).
Если я лучей Л2,..., А„ и
луча прямой® исходят из одной точки прямой я и притом лучи hb Л2,..., А„ лежат по
одну сторону от «, то среди этих последних
найдётся одии и притом толькоодии луч, обра-
зующий с лучом а угол, внутри которого лежат все остальные п—1 лучей.
Докажем справедливость этого утверждения сначала для п =2. Пусть луч А, лежит внутри угла <$(А2, а); тогда, в силу
доказанного выше, луч hj лежит вне Пусть теперь
Черт.
угла (Л1; а) (черт. 19). луч А2 лежит вне' угла <$ (А2, я). Докажем, что луч hx лежит внутри угла <5 (^2, а). Из того, что луч А2 лежит вне угла <5 а)> и того, что
лучи hi и_А3 лежат по одну сторону от прямой а, следует, что лучи h, и а лежат по разные стороны от прямой А1: т. е. что прямая Aj пересекает в некоторой точке Hi всякий отрезок Н,А,,
концы которого лежат . на лучах А и а. При этом точка Н\
отрезка НгА должна лежать по ту же сторону прямой а, что и точка //2, т. е. п<* ту же сторону, что и луч А2, а значит и луч Aj. Тем самым точка Н\ лежит на луче А,; в противном случае она лежала бы на дополнительном луче прямой Aj и, значит, по другую сторону от а. Но точка Hi лежит внутри угла
<J (h>, а) (см. пункт 1), а следовательно (пункт 3), луч А,
также лежит внутри этого угла.
Положим теперь, что наше утверждение справедливо для а—1 лучей: hb А2,..., Ал_г, т. е. положим, что п — 2 этих лучей, например, Alt А3,..., А„_2, лежат внутри угла <? (А„_lt а). Докажем, что это утверждение справедливо для п лучей. Действительно из справедливости этого утверждения для двух лучен следует,
что либо луч hn лежит внутри угла а), и в таком слу-
ПРИМЕЧАНИЯ [19]
423
чае внутри этого угла лежат п — 1 лучей: hh h2,..., Л„_2, hn, либо луч Лл_1 лежит внутри угла <5 (hn> а). В последнем случае все остальные лучи Л/ (i = 1, 2.п — 2), лежащие по предположению внутри угла j, й), лежат также, в силу доказанного выше, внутри угла а).
6. Докажем теперь, что если точка А принадлежит одной из двух областей, на которые угол <? (Л,к) делит плоскость а, а точка В— другой, то всякая ломаная, лежащая в плоскости а и соединяющая точки А и В, или проходит через вер ш-и н у
О, или имеет либо с Л, либо с ^ общую точку.
Не нарушая общности рассуждения, можно, очевидно, предположить, что точка А лежит внутри угла <$(Л, к) и что точки А и В лежат по разные стороны от прямой Л. Покажем теперь, что ломаная ACDE... MB, соединяющая точку А с точкой В, пересекает прямую h. Действительно, если бы ломаная ACDE...MB не пересекала прямой Л, то точки А и С, С и D, а следовательно, и А и D, D и Е, а следовательно, и /4 и Е ит. д. ..,, наконец, А и В находились бы по одиу сторону от прямой Л, что противоречит сделанному нами предположению. Однако может случиться, что ломаная ACDE... MB пересекает ие луч Л, а дополнительный луч Л' прямой h (мы будем считать, что ломаная не проходит через О; в противном случае наше предложение, очевидно, верно). Докажем, что в этом случае ломаная ACDE... MB пересекает луч к. Пусть J3—первая точка пересечения ломаной ACDE ... MB (начало этой ломаной в точке А) с прямой h, и пусть точка Р лежит на отрезке QS ломаной ACDE.. .QS .. .MB и при этом совпадает или не совпадает с его концом 5, но ни в коем случае не совпадает с концом Q. Аналогично предыдущему убеждаемся, что все точки ломаной ACDE...QP (ислючая точку Р) лежат по одну сторону с точкой А, а следовательно, и с лучом к от прямой h. Точка А и луч h лежат по одну сторону от прямой к, точка Р и луч Л—по разные стороны от этой прямой; следовательно, точки Р и А лежат по разные стороны прямой к. Поэтому, согласно доказанному выше, ломаная ACDE...QP должна пересечь пря-мую к. Точка пересечения F, как принадлежащая ломаной ACDE.. .QP, лежит по ту же сторону от прямой Л, что и луч к, а следовательно, она лежит иа луче к.
7. Докажем теперь, что если точки А и А' принадлежат одной и той же области, то всегда на плоскости а существует ломаная, соединяющая точку А с точкой/4', не проходящая через точку
О и ие имеющая общих точек с лучами h н к.
Если точки А и А' лежат внутри угла <?(Л, к), то справедливость этого утверждения очевидна: в качестве указанной лома-
424
примечания [19—22]
ной можно принять отрезок АА'. Если точки А и А’ лежат_вие угла ft) по одну сторону хотя бы одной из'прямых h, к,
