Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если же точки А,’ М, N лежат на одной прямой Ь, то либо эта прямая не имеет общих точек с плоскостью а (мы попадаем в условия случая 1), и тогда теорема, очевидно, верна, либо прямая а пересекается с плоскостью, и тогда, как легко заметить, надо дословно повторить доказательство, приведённое в примечании [14].
[17] Точнее: один нз двух данных отрезков всегда либо находится, либо не находится с другим в некотором отношении, которое мы обозначаем словом «конгруентен». Прямого определения этого соотношения не даётся: косвенное его определение даёт третья группа аксиом в том смысле, что в ией перечислены все свойства этого соотношения, которые мы ему будем приписывать в дальнейшем.
27 s
420
ПРИМЕЧАНИЯ [18—19]
[18] В самом деле, по аксиоме 1П2 из конгруентностей А'В’^А'В' и АВ = А'В' следует А'В'^АВ.
[19] Докажем все содержащиеся в этом абзаце утверждения.
1. Пусть Н—некоторая точка, лежащая на луче Л, а К— точка луча к. Возьмём произвольную точку М отрезка НК- Так как точка М лежит между Н и К, то точка Н не лежит на отрезке МК, и точка К не лежит на отрезке НМ. Следовательно, точки Н, М лежат по одну сторону от прямой к, т. е. точка М лежит по ту же сторону прямой к, что и луч А. Аналогично получаем, что М лежит по ту же сторону Л, что н луч к. В итоге М лежит внутри угла <? (Л, к). Возьмём теперь точку N, такую, чтобы Н лежала между__Л" и N. Точки К и N лежат по разные стороны от прямой Л, т. е. точка N и луч к лежат по разные стороны от прямой Л, а следовательно N лежит вне угла (Л, к). Тем самым доказано следующее утверждение:
Если Я и А’—точки иа стороне угла ¦З' (А, к), то точки прямой НК, лежащие между Н и К, л е ж а т и внутри у г л а -3" (Л, к), а лежащие вне НК—л ежат и вие угла (Л, к).
2. Пусть точки М, N лежат внутри угла -3(Л, к). Это значит, что каждая из этих точек лежит по ту же сторону от прямой к, что и луч ft, а следовательно (см. конец примечания р]), все точки отрезка MN лежат по ту же сторону от прямой к, что и луч Л. Всё сказанное Еыше остаётся в силе, если повсюду в этом рассуждении луч Л заменить лучом к, а прямую к — прямой Л. Таким образом, отрезок, соединяющий две точки, лежащие внутри угла ¦<$ (Л, к), целиком лежит внутри этого угла.
3. Пусть какая-либо точка/И луча/, выходящего из вершины О угла (Л, к), находится внутри этого угла. Если N—какая-то другая точка того же луча, то точка О ие лежит иа отрезке MN (см. стр. 64, определение луча), а потому, в силу примечания р], точка N лежит rto ту же сторону, что и точка М, как от прямой к, так и от прямой Л; следовательно, точка N лежит по ту же сторону от прямой к, что и точки луча h, и по ту же сторону от прямой Л, что и точки луча к, т. е. точка N лежит тоже внутри угла ¦З" (Л, к). В этом случае, следовательно, все точки луча / лежат внутри угла (Л, к). Легко убедиться также, что если точка М луча /.выходящего из точки О, лежит вие угла <$ (А, к), то и любая другая точкаЛГ того же луча лежит вие угла (Л, к) (доказательство от противного).
4. Докажем теперь, что луч I, лежащий внутри угла ЦС (Л, к), встречает отрезок НК, где Я взято и а Н, а К— и а к.
ПРИМЕЧАНИЯ [19]
421
Рассмотрим какую-либо точку М, лежащую на прямой Л, но не принадлежащую лучу ft и отличную от О (черт. 17). Прямая I пересекает сторону МН треугольника МНК, не проходя при этом через его вершины. Следовательно, она должна
пересечь и другую его сторону, НК или МК¦ Докажем, что
прямая / не может пересечь стороны МК Точка О прямой k лежит между М н Н, т. е. М и точки луча ft лежат по разные стороны от прямой k. Пусть N—произвольная точка отрезка МК- Прямая МК пересекается с прямой ft у' . N К'*-к
в точке К, не лежащей на отрез-ке MN. Следовательно, точка N Черт 17
лежит по ту же сторону от прямой k, что н точка М, т. е. 1) т о ч к а N и луч ft лежат по разные стороны от прямой к; с другой стороны, точка М, в которой прямая МК встречается с прямой ft, лежит вне отрезка NK, а ^начит: 2) N лежит по ту же сторону от прямой Л, ч т о н т. е. п о -tv же сторону, что и л у ч k.
Прямая / состоит из луча / и дополнительного луча V. Лу.ч / лежит внутри угла (ft, к), следовательно, по ту же сторону от к, что н луч h. Поэтому луч I не может нестн на себе точек N отрезка МК (первое утверждение). Луч/' лежнт с лучом / по разные стороны прямой ft. А так как луч /, как внутренний по отношению к углу, лежит по ту же сторону от it, что н к, то /' лежит по другую сторону от ft. Значит, и луч /' не может нести на себе точек N отрезка МК (второе утверждение). Следовательно, проведённая намипримая / ие может пересечь отрезок МК н потому должна пересечь отрезок НК Точка пересечения L принадлежит при этом именно лучу/'(а не/'), так как отрезок НК лежит внутри угла.
5. Заметим, что отсюда следует несколько очень важных утверждений. Из трёх лучей ft, к, I, исходящих нз одной точки О, только однн может лежать внутри угла, образованного двумя другими лучами. Действительно: пусть луч / лежнт внутри угла <$(Л, к). Согласно доказанному, он пересекает отрезок НК в некоторой точке L. Так как точка L лежит на отрезке НК, то, по аксиоме П3, точка Н не лежит на отрезке LK, а потому н луч h, как не пересекающий отрезка LK, не может лежать внутри угла <$(/, к). Заменив в этом рассуждении буквы Л и к друг другом, мы докажем, что н луч к не может проходить внутри угла
