Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы доказали, что если точки А и В обе суть внутренние точки многоугольника S3, то всегда (в плоскости этого многоугольника) существует путь, соединяющий эти две точки и не имеющий ни одной общей точки с многоугольником 5?. Для внешних точек доказательство совершенно аналогично. Утверждение же, что всякая ломаная, лежащая в плоскости многоугольника S3 и соединяющая внешнюю точку этого
27 Д. Гильберт
418
ПРИМЕЧАНИЯ [15]
многоугольника с его внутренней точкой, имеет по крайней мере oj общую точку с 5(5 — есть непосредственное следствие
Основная идея доказательства этих теорем принадлежит А. Винтериицу (A. Winternitz, Ueber den Jotdanischen Kurvenzatz und verwandte Satze der Analysis situs, Math Zejtschr., т. 1, стр. 330—332, 1918).
Доказательство утверждения, что не существует прямой, целиком лежащей внутри многоугольника,—т.е.' что у всякой прямой, имеющей хотя бы одну точку внутри многоугольника, имеются точки также и вне этого многоугольника, — не представляет теперь никаких затруднений. Действительно, пусть точка О прямой а лежит внутри §j$. Тогда луч в этой прямой, исходящий из точки О, проходит по крайней мере однн раз через Согласно лемме 11, за этим прохождением на луче а непосредственно следует отрезок, состоящий нз точек, внешних относительно многоугольника
Переходим к доказательству последнего утверждения этой теоремы — в плоскости многоугольника можно провести прямую, не имеющую общих точек с этим многоугольником.
Докажем сначала, что для любых п точек на плоскости всегда существует прямая такая, что все данные точки ^ежат по одну её сторону и, может быть, на ней самой.
Возьмём сначала произвольную прямую а, не проходящую через данные точки. Если данные точки расположатся по обе стороны а, то поступим следующим образом. Соединим отрезками попарно данные точки, лежащие по разные стороны а, и отметим точки этих отрезков, попавшие иа а, в порядке их расположения на а:
Возьмём прямую MN, где М и N — две из данных точек, лежащие по разные стороны а, причём отрезок MN встречается сев точке Ak. Мы утверждаем, что MN, есть искомая прямая. В самом деле, обозначим через а* ту полуплоскость, определяемую MN, в которой лежат точки Ah А2 и Аь~\. Пусть теперь L — произвольная точка из числа данных точек; пусть для определённости L лежит с N по разные стороны от а (иначе вместо N мы взяли бы М). Тогда отрезок LN содержит некоторую точку At(i^k), а следовательно, N лежит вне отрезка ЬА[. Отсюда, если i ф к, вытекает, что L и At лежат по одиу сторону прямой MN, значит, /. лежит в а*; если же
1 = к, то L лежит на MN. Утверждение доказано.
Покажем теперь, что его можно усилить, а именно, подобрать прямую так, что все данные точки лежат строго по одну её сторону. Для этого каждую данную точку мы помещаем внутри двух пересекающихся в ней отрезков и строим — иа основании предыдущего — прямую так, что данные п точек
леммы
Аь А<>,..., А^
примечания [15 —17]
419
в совокупности с 4п концами этих отрезков могут лежать лишь по одну сторону прямой или на ней самой! Очевидно, что тогда данные п точек иа прямую попадать не могут и лежат по одну её сторону. Если в качестве данных п точек взять вершины многоугольника, то получаем то, что требовалось доказать.
[16] Эта теорема является обобщением теоремы 8 на случай пространства. Возьмём некоторую точку А, не лежащую в плоскости а. Все точки М, для которых отрезок МА не содержит ни одной точки плоскости, мы отнесём к одной области, а все остальные точки пространства (не принадлежащие плоскости а)— к другой области. Аналогично тому, как это было сделано в примечаниях рз] и [и], мы докажем следующие три утверждения:
1)Если точки М и N лежат в первой области, то отрезок MN не содержит точек плоскости а.
2) Если точки М и N лежат во второй области, то отрезок MN также ие содержит точек плоскости а.
3) Если точки М и N лежат в разных областях, то отрезок MN содержит точку плоскости а.
Доказываются все эти утверждения одним н тем же приёмом. Если точки А, М, N не лежат на одной прямой, то, согласно аксиомам 14!5, они определяют некоторую плоскость р. Если плоскости а и р не имеют общей точки, то отрезки AM и AN не имеют точек, общих с плоскостью а, и мы находимся в условиях случая 1); соответствующее утверждение, наверное, справедливо, так как MN тоже не имеет общих точек с плоскостью а. Предположим, что плоскости аир имеют общую точку. В таком случае, в силу аксиом 17>6, они пересекаются по прямой, которую мы обозначим через а.' Если какой-либо из отрезков AM, AN, MN имеет с плоскостью а общую точку, то эта общая точка принадлежит плоскостям а и р одновременно и должна лежать иа прямой а. Легко заметить, что весь вопрос сводится теперь к исследованию пересечения (или непересечеиия) отрезков AM, AN, MN, лежащих в плоскости р с прямой а, лежащей в той же плоскости р, т. е. к повторению доказательства теоремы 8.
