Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 136

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 169 >> Следующая


РСВ, в силу следствия леммы IV, является также внутренней точкой треугольника ABC. Поэтому в треугольнике РСВ нет ни одной вершины ломаной

Сторона ВС у него общая с треугольником ABC; сторона РВ является частью стороны АВ этого последнего. Поэтому к треугольнику РВС применима лемма VII (причём роль стороны АС будет играть PC) и, следовательно, внутри этого треугольника нет ни одной точки ломаной @. Чтобы убедиться, что и на стороне PC нет ни одной точки @, достаточно аналогичным образом рассмотреть треугольник Р'СВ, где Р' взято между К и Р.

Лемма IX. Если PQ — сторона многоугольника^, С — точка на отрезке PQ и В — внутренние или обе внешние точки многоугольника $$ и отрезки АС и ВС не имеют общих точек с sp, то отрезки АС и ВС лежат по одну сторону от прямой PQ.

Предположим противное (чертёж 13). Продолжим отрезок АС На этом продолжении в силу леммы СА', внутри которого нет точек §{5, причём если точки отрезка АС лежат внутри 5$, то точки отрезка СА' лежат вне 5J5 и наоборот (следствие 2 леммы И). В силу нашего предположения лучи СА' и СВ будут лежать по одну сторону от прямой PQ. Применяя лемму VIII к треугольнику А'ВС, причём роль стороны АС будет играть А'В,

в противоположную сторону. II можно выбрать отрезок
416

ПРИМЕЧАНИЯ [15]

иа отрезке СА' можио выбрать точку D так, чтобы отрезок BD ие пересекался с многоугольником ф и, следовательно, точки В и D либо обе будут лежать внутри $, либо обе вие (лемма V). Поэтому, если точка А лежит внутри (вие) 5)3, то точка D (следствие 2 леммы 11), а следовательно, и В должны лежать вие (внутри) §Р> что противоречит условию нашей леммы. Таким образом, оиа доказана.

Любую незамкнутую ломаную линию, соединяющую точку А с любой точкой В, мы будем дальше часто называть путём, проведённым из точки А в точку В.

Лемма X. Произвольную точку А, не лежащую на (замкнутой или незамкнутой) ломаной можно соединить с любой точкой В этой ломаной путём, не имеющим общих точек с ломаной

Проведём из точки А произвольный луч, проходящий через ломаную ©. Пусть М — точка первой встречи эгого луча с ломаной ©. Отрезок AM есть путь, ие пересекающий @ и соединяющий

точки А и М. Нам требуется видоизменить этот путь и продолжить его до точки В. Пусть РМ и QM — два отрезка, лежащие иа ломаной @ и ие имеющие общих точек (РМ и QM могут лежать и на одном звене). Для начала перенесём точку первой встречи нашего пути с ломаной © из точки М в точку Q. При этом может оказаться одно из двух: либо луч МР пересечёт отрезок AQ, т. е. пройдёт внутри треугольника AMQ, либо он пройдёт вие его. Во втором случае (черт. 14), в силу леммы VIII, иа отрезке AM можио иайти точку Т, такую, что ии внутри треугольника TMQ, ни иа стороне его TQ кроме точки Q ие будет ии одной точки ломаной Заменим отрезок ТМ отрезком TQ; тем самым мы получим путь ATQ, ие содержащий ии одной точки <3, кроме Q. В первом же случае (т. е. если луч МР проходит внутри треугольника AMQ, черт. 15) мы возьмём иа луче, дополнительном к лучу МР, точку Р\ лежащую между М и первой точкой пересечения этого луча,

Черт. 14.

Черт. 15.
ПРИМЕЧАНИЯ [15]

417

дополнительного к лучу МР, с ломаной 3 (если этого луча нет, то в качестве Р' берётся произвольная точка этого луча). Затем, пользуясь леммой VIII, на отрезке МР' выбирают точку U так, чтобы ни внутри треугольника UMQ, ни на стороне его MQ ие было точек ломаной 3- Далее иа отрезке AM выбирают (пользуясь той же леммой VIII) точку F так, чтобы ни внутри треугольника FMU, ни на его стороне FU не было точек ломаной 3. Наконец, заменив отрезок FM ломаной FUQ, мы и в этом случае получим путь AFUQ, ие содержащий ни одной точки <3, кроме Q.

Очевидно, что действуя этим способом, можно первую точку встречи нашего пути с ломаной 3 перенести в любую точку соответствующего звена ломаной 3, в том числе и в его конец, и, продолжая таким образом, дойти до любой точки В этой ломаной.

После того, как получены леммы 1—X, переходим к теореме 9.

Докажем сначала первое утверждение теоремы 9. Пусть многоугольник S3 состоит из незамкнутой ломаной 3 и отрезка PQ, концы которых являются их единственными общими точками (черт.

16). Точку А, лежащую внутри в силу леммы X, можио соединить с S3 путём, впервые пересекающим S3 в точке R отрезка PQ. Соединим с точкой R таким же путём также и точку В, лежащую внутри S3-Пусть UR и VR—последние звенья намеченных путей. Так как точки А и В — обе лежат внутри S3. т0 в силу леммы VI, все точки обоих путей, за исключением точки R, ле- Черт. 16.

жат внутри (вне) S3- В силу леммы

IX, отрезки UR и VR лежат по одну сторону от PQ, т. е. ни отрезок RP, ни отрезок RQ не проходят внутри треугольника URV. Итак, проходящая через точку R сторона многоугольника 5J? не проходит'внутрь треугольника URV; на отрезках UR и VR нет точек S3- Поэтому к треугольнику URV применима лемма VIII, т. е. иа стороне его RU можио найти такую точку W, что отрезок WU не будет иметь общих точек с ф. Ломаная, состоящая из обоих намеченных нами путей, представляет собою путь из точки А в точку В. Если часть URV этого пути заменить ломаной UWV, то мы получим путь из точки А в точку В, не пересекающий многоугольник S3-
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed