Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
О лежала бы вие треугольника.
Это условие и достаточно. Действительно, если точка О лежит иа траисверсали AD, соединяющей какую-либо вершину, скажем А, с какой-либо точкой D стороны ВС, противолежащей этой вершине, то точки A, D лежат по разные стороны от точки О; поэтому луч OD, исходящий из точки О, проходит только одни раз через треугольник ABC, Черт. 10.
т. е. точка О лежит внутри треугольника ABC
Следствие. Проведём в треугольнике ABC траисверсаль AD. Любая точка, лежащая внутри треугольника ABD (или ACD), лежит также внутри треугольника ABC (черт. 10).
Действительно, пусть точка О лежит внутри треугольника ABD. В силу леммы IV, оиа должна в таком случае лежать иа какой-то траисверсали АЕ, где Е — точка, лежащая иа отрезке DB. В силу теоремы 5, точки С, D, Е, В должны расположиться в приведённом только что порядке (или в порядке обратном), т. е. точка Е должна лежать иа отрезке ВС, а следовательно, отрезок АЕ служит траисверсалью также и для треугольника ABC. Поэтому, в силу леммы IV, то'ша О лежит внутри треугольника ABC.
Если точка О лежит внутри треугольника ACD, предложение доказывается аналогично.
Лемма V Если точка А лежит внутри (вне) многоугольника §{5 и отрезок АВ с многоугольником §{5 не имеет общих точек, то все точки этого отрезка лежат внутри {вне) SJ5. Конец В этого отрезка может лежать как внутри {вне) так и на этом многоугольнике
Пусть луч ВА встречает многоугольник ^ впервые (см. замечание к лемме 1) в точке М. а луч АВ — в точке N. Если какой-либо из этих лучей, например В А, многоугольника 5J? ии разу ие встречает, то мы в качестве точки М возьмём любую точку, для которой точка А лежит иа отрезке ВМ Точка N, в част-
А
414 ПРИМЕЧАНИЯ I 15]
ности, может совпасть с точкой В В силу теоремы 5, отрезок АВ, точка А и точка В, если она не совпадаете N, лёжат внутри отрезка MN. В силу следствия I леммы 11, точки отрезка MN либо все лежат внутри либо все лежат вне 5)3. Где именно лежат эти точки, — определяется положением одной из иих, например, точки А.
Лемма VI. Если точка А лежит внутри (вне) многоугольника$ и ломаная ABC.. .MN не имеет общих точек с этим многоугольником, за исключением, быть может, точки N,то ни одна из точек ломаной ABC. ..MN не может лежать вне [внутри) многоугольника
Доказательство этой леммы получается путём последовательного применения леммы V к отрезкам <45, ВС.......MN.
Рассмотрим теперь произвольную замкнутую ломаную и треугольник ABC, обладающий следующим свойством: если некоторый отрезок PQ ломаной © имеет точки внутри треугольника ABC, то с самим треугольником отрезок PQ (включая его концы) может иметь общие точки только на стороне АС (включая вершины А, С). В таком случае справедливы следующие утверждения:
Лемма VII. Если внутри треугольника ABC имеется хотя бы одна отличная от вершины точка О ломаной ©, то внутри этого треугольника имеется также по крайней мере одна вершина этой ломаной ©.
Лемма VIII. На стороне АВ этого треугольника ABC можно найти точку Р такую, чтобы ни внутри треугольника РВС, ни на его стороне PC не было ни одной точки ломаной ©,
Докажем лемму VII. Пусть точка О ломаной © лежит внутри треугольника ABC и пусть эта точка принадлежит стороне PQ этой ломаной. Если отрезок 'PQ не имеет общих
А точек с треугольником ABC, то вершины Р и Q ломаной © в силу леммы V лежат или внутри треугольника ABC или на иём самом, а следовательно, на стороне АС. Но очевидно, что обе вершины Р и Q лежать на АС не могут, так как иначе точка О тоже лежала бы на АС. Следовательно, хоть одна из вершин Р, Q лежит внутри треугольника.
Черт. jj Положим теперь, что отрезок PQ имеет
общие точки с треугольником ABC (черт. 11). По условию он может пересечься только со стороной АС этого треугольника. Обозначим точку пересечения буквой R. Так как точка R лежит между точками Р и Q, то она, в силу теоремы 5, не может лежать внутри обоих отрезков РО и OQ. Пусть точка R лежит на отрезке РО. В таком случае, в силу леммы V, вершина Q ломаной © лежит внутри треугольника ABC.
ПРИМЕЧАНИЯ [15]
415
Докажем лемму VIII. Пусть внутри треугольника ABC и на стороне его АС лежат к вершин ломаной @. Обозначим их:
Mi, М%......Мк (черт. 12). Из точки С проведём лучи СМЪ
Сщ......CMk. Некоторые из этих лучей могут даже совпасть.
Часть этих лучей может совпасть с лучом АС, остальные же, как проходящие через точки, лежащие внутри треугольника ABC, должны в силу леммы IV пересекать отрезок АВ. Пусть точки пересечения будут D, E,F,...,K. Точки А,
В и точки D,E, F,К, лежащие иа прямой А
АВ, в силу теоремы 6 образуют некоторую упорядоченную последовательность, одной из крайних точек которой служит А, а другой — S. Построим точку Р между f( и
В, где К — соседняя с В точка последовательности. Так как A, D, Е, F,... ,К лежат вне отрезка РВ, то ни одна из точек М/ ие может лежать на трансверсали треугольника РСВ, ирущей из вершины С к стороне РВ, следовательно, не может быть (лемма IV) внутренней точкой РСВ. Но всякая внутренняя точка О треугольника
