Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 134

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 169 >> Следующая


Итак, наше утверждение доказано.

Точки, нз которых выходят лучи, пересекающие нечётное число раз данный многоугольник, называются его внутренними
ПРИМЕЧАНИЯ [15] 411

точками. Все остальные точки плоскости, исключая, конечно, точкя самого Многоугольника, называются его внешними точками. Это определение нами заимствовано из «Оснований геометрии» В. Ф. Кагана (Одесса, 1905), где, в несколько иной форме, проведено и доказательство той теоремы, которой мы сейчас занимаемся.

Заметим теперь следующее. Пусть некоторый луч Л, выходящий из точки О, не лежащей на многоугольнике >4?, проходит через многоугольник п раз. Пусть при этом на луче Л лежат 6 точек пересечения сторон многоугольника, / вершин многоугольника, в которых сходятся стороны, лежащие по разные стороны от луча h (черт. 4), р вершин, в которых сходятся стороны многоугольника, лежащие по одну сторону от Л (черт. 5); т — п — I — к сторон, вблизи которых многоугольник расположен относительно $ так, как это Черт. 8.

указано на черт. 6, и q сторон,

вблизи которых многоугольник расположен так, как это указано на черт. 7. Рассмотрим совокупность 31, состоящую из точки О, 1т + 2</ концов сторон многоугольника S3, лежащих на луче Л, ft точек пересечения и 1-\-р вершин, общих многоугольнику н лучу Н. В силу теоремы 6, N^k-\-l -\~p-\-2{m-\-q)^-\ точек совокупности 91 расположены на луче А ва вполне определённом порядке, и нх можно перенумеровать, приняв за первую точки ближайшую к О, т. е. точку, лежащую между точкой О и любой другой точкой этой совокупности. Точно так же можно перенумеровать все п прохождений луча Л через многоугольник 1$. Пусть F и G суть концы /-го прохождения, еслн луч h и многоугольник 5J? имеют общий отрезок — сторону (черт. 6); еслн же при /-ом прохождении h и $ имеют только одну общую точку, то эта точка окажется обозначенной двумя буквами /^иСНчерт. 8). Пусть совокупность 91 упорядочена на луче А так, что точке F предшествует точка Fj, а за точкой О следует точка (?!• Мы пришли, таким образом, к следующему выводу:

Лемма II. Непосредственно перед каждым прохождением и непосредственно после каждого прохождения через многоугольник на луче Н существуют отрезки — соответственно, РЛР и GGi,— не содержащие ни одной точки многоугольника

Заметим ещё следующее:

Следствие'1. Все точки, лежащие на каждом из отрезков F^F и GG\, т. е. на отрезках, не имеющих с многоугольником $ нн одной общей точки, одновременно лежат либо внутри многоугольника, либо вне его.
412 ПРИМЕЧАНИЯ [151

Следствие 2. Либо точки отрезка F.iF лежат внутри а точки отрезка GGi вие •$, л и б о наоборот.

Докажем это. Возьмём три произвольные точки: две, М и N, иа отрезке F-^F и одну, Р, на отрезке GGi и рассмотрим лучи MGV NGi и PGV исходящие из точек М, N н Р. Так как отрезок MN ие содержит ии одной точки SJ3, то число прохождений лучей MGi и М?! через $ одинаково, что и доказывает первое следствие. Так как иа отрезке МР лежат точки отрезка FG, соответствующие одному прохождению луча через 5)}, и так как кроме точек отрезка FG и его концов иа отрезке МР нет точек многоугольника 5(5, то, очевидно, луч MG\ проходит- через-иа один раз больше, чем луч PGi, что и доказывает второе следствие.

Теперь легко показать, что в плоскости многоугольника имеются как точки, лежащие внутри Ц5, так и точки, лежащие вие Ц5. Рассмотрим для этого прямую а, пересекающую одну из сторон этого многоугольника в точке G. Согласно только что доказанному, иа прямой а имеются два отрезка F\F и GGj, точки одного из ' которых лежат внутри !$, а точки второго—вне ф.

Лемма III. Прямая либо не проходит через треугольник, либо проходит через него два раза.

Действительно, любая прямая может пересечься с каждой из прямых, иа которых лежат стороны треугольника, ие более одного раза. Поэтому число прохождений не может быть более трёх. Но, разбивая прямую иа два луча какой-нибудь точкой (не лежащей на треугольнике), убеждаемся, что это число должно быть чётным, т. е. оно может быть только О или 2. Следовательно, луч, исходящий из внутренней точки треугольника, должен проходить через этот треугольник один и только один раз.

Лемма IV. 'Для того, чтобы точка лежала внутри треугольника, необходимо и достаточно, чтобы эта точка лежала на трансверсали, проведённой из любой его веришны.

Трансверсалью треугольника называют отрезок, соединяющий какую-либо вершину этого треугольника с точкой стороны, противолежащей вершине (черт. 9).

Это условие необходимо. Действительно, пусть точка О лежит внутри треугольника ABC. Рассмотрим прямую ОА, соединяющую её с одной из вершии треугольника, которую мы для определённости обозначим через А. Из леммы III следует, что прямая ОА должна два раза пройти через треугольник ABC, тая как, еслн она ни разу не проходила бы через этот тре-
примечания [15] 413

угольник, то все её точки, в том. числе и точка О, лежали бы йе внутри треугольника. ABC. При каждом прохожцеиии через треугольник прямая пересекается по крайней мере с одной из его сторон. При прохождении через точку А прямая ОА пересеклась с прямыми АВ и АС, причём ни с одной из этих прямых оиа совпасть не может, так как иначе оиа ие проходила бы ии разу через треугольник. Поэтому при втором своём прохождении через треугольник ABC прямая ОА должна пересечь отрезок ВС. Пусть точкой пересечения служит D. Точка О должна лежать на траисверсали AD, так как иначе луч 0<4> неся иа себе точки А и D, дважды проходил бы через треугольник, т. е. точка
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed