Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
теоремы. Пусть занумерованные точки будут: Аь Аг..........Ап-±.
Мы утверждаем, что точка А совпадает либо с Аь либо с /4„_1 Действительно, в противном случае она лежала бы между двумя другими из занумерованных точек, что противоречит пункту 2
Меняя в случае надобности нумерацию на обратную, можно считать, что А^А^. Теперь припишем точке С иомер п, положив С = Ап, и покажем, что построенная нумерация удовлетворяет требованиям теоремы: для всяких трёх точек точка, лежащая между двумя другими, имеет промежуточный номер. Еслн среди взятых точек нет С, то это имеет место, так как для нумерации Av..., /4„_] требование теоремы соблюдается. Если же взяты три точки At, Aj, Ап (/4„=s С), где / </< я, то нужно доказать, что А) лежит между At и Ап. Если /= 1, то это очевидно, так как Ал s= А, Ап = С. Если I > 1, то At лежит между /4] и Aj, кроме того Aj лежит между Ах и Ап; отсюда по пункту 2 доказательства теоремы 5 вытекает, что А, лежит между Ai и Аа.
Теорема 6 доказана. Она как бы подводит итог соотношениям порядка точек на прямой, строго выводя из аксиоматики' то их свойство, которое наглядно нам представляется в внде следования их по прямой друг за другом.
[И] Докажем, что между любыми двумя точками прямой — мы их обозначим Аа и А — существует бесчисленное множество точек. Согласно теореме 3, между точками А0 и А лежит некоторая точка /4Г В силу той же_теоремы, между точками А1 н А лежит точка Ait между Аг и А — точка А3 н т. д., между Ап
и А — точка /4„+1. Точка Аг лежит по построению между А0 и А-' Чтобы убедиться в том, что все остальные точки Ak (А = 2,3,...) лежат между точками А0 н А, достаточно доказать следующее утверждение: еслн точка Ап лежит между А0 н Л, то точка Ап+] также лежит между А0 и А. Справедливость же этого утверждения следует из пункта 2 доказательства теоремы 5.
[13] Две области, о которых идёт речь в теореме, мы определим следующим образом: на плоскости а выберем пронзволь-
ПРИМЕЧАНИЯ [13] 407
ную точку А, не лежащую на прямой а. Все точки М плоскости а, не лежащие на прямой а, разобьём на два класса. К первому классу относим точки М, для которых отрезки МА не пересекаются прямой в; ко второму классу — все остальные точки.
Доказательство теоремы 8 сведётся теперь к доказательству следующих двух утверждений:
1. Любые две точки М и N одной и той же области определяют отрезок MN, не пересекающий прямую а (черт. 2).
В самом деле, возможны два случая:
a) Точки М и N лежат в первой области, т. е. прямая а не пересекает ни отрезка МА, ни отрезка NA. (В частном случае, когда одна из этих двух точек, например N, совпадает с точкой А, т. е. когда мы имеем дело только с одним отрезком — справедливость нашего утверждения очевидна.) Тогда непосредственно из аксиомы 114 вытекает, что отрезок MN ие пересекает а, если только точ-кн А, М, N не лежат иа одной прямой
Если же A, M,N лежат на одной прямой, то из теоремы 1
следует, что эта прямая .либо не пересекаем прямой а, и в таком случае наше утверждение доказано, либо пересекает её в некоторой единственной точке Р. Согласно условию, точка Р не может лежать ни между точками А и М, ин между точками А и N. -Поэтому, если, на основании теоремы 5,- записать эти четыре точки в порядке нх расположения на прямой, то точка Р необходимо займёт крайнее место, а значит, не может лежать между точками М и N.
b) Точки М и N лежат во второй области, т. е. прямая а пересекает как отрезок AM, так и отрезок AN. Если точки
А, М, N не лежат на одной прямой, то MN не пересекает а, в силу следствия из аксиомы П4 (доказанного в примечании [6]). Если же точки А, М, N лежат иа одной прямой и Я —точка пересечения этой прямой с а, то Ялежнт между А и М и между А и N. Поэтому порядок следования этих четырех точек по прямой (теорема 5) будет таким, что Р отделяет А от М и N, т. е. либо АРМЫ, либо APNM. Очевидно, отрезок MN не пересекается прямой а, так как точка Р лежит вне MN.
2. Отрезок, соединяющий две точки М н /V р а з-личных областей, пересекается прямой а.
В самом деле, пусть точка, лежащая в одной области сточкой А, есть М (черт. 3; случай, когда точка М совпадает с точкой А, ввиду его простоты, мы опускаем). Пусть точки M,N и А не лежат на одной прямой. Так как прямая а Пересе-
408
ПРИМЕЧАНИЯ [13—141
кает отрезок AN и ие пересекает отрезка AM, то, ]в силу аксиомы 114, оиа пересекает отрезок MN.
Пусть теперь точки А, М, N лежат на одной прямой. Точка Р пересечения прямой а с отрезком AN лежит между Аи N и вне
AM. Записывая эти четыре точки в порядке их следования по прямой (теорема 5), мы должны поместить А н М по одну сторону от Р, а А и N — по разные стороны. Имеются лншь две возможности: AMPN н
MAPN; в обоих случаях Р лежит между М н N.
Наши утверждения доказаны.
Черт. 3. Дополним их следующей простой тео-
ремой: если М и N лежат по одну сторону от а, то всякая точка L отрезка MN лежит по ту же сторону от а. Допустим противное; тогда на прямой MN имеется точка Р прямой а, лежащая между М и L н между N н L. Порядок точек будет поэтому либо LPMN,
