Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
26*
404
ПРИМЕЧАНИЯ [4— 7]
прямая всеми своими точками принадлежит каждой из плоскостей (16), Общих точек вие АВ плоскости ие имеют, так как в противном случае они были бы тождественны (15).
3. От противного (пользуясь 1 б)-
Теорема 2.
1. Дана прямая а и точка А вие её. На а возьмём точки В и С (13) и построим плоскость ABC (14). Прямая а принадлежит плоскости ABC всеми своими точками (16). Плоскость будет единственной (15).
2. Даны прямые а и b с общей точкой С. Возьмём на а ещё точку А и на Ь ещё точку S(I^). Построим плоскость АВС(\±). Прямые а и b принадлежат плоскости ABC (!6). Плоскость будет единственной (1Б).
[6] В тексте Гильберта чертежи не нумерованы. В переводе мы ввели нумерацию; ссылки иа эти чертежи введены нами, оии заключены в квадратные скобки.
[6] В самом деле, докажем, что прямая а не может проходить через точки М, L. N, лежащие соответственно внутри отрезков АВ, ВС и СА. Если бы мы допустили эту гипотезу, то мы пришли бы к противоречию следующим образом: Среди точек L, М, N имеется одна, которая лежит между двумя другими (см. теорему 4, § 4). Пусть это будет М (черт 1) Рассмотрим тогда треугольник ALN и прямую а' — ВС Так как а' про-ходпт через точку М, лежащую между L н N, то она должна проходить или через точку отрезка AL, или через точку отрезка AN (аксиома П4). Однако точка В, в которой а' пересекается с AL, лежит вие AL в сиЛу аксиомы Н3 (так как L лежит между А и В). Значит, а' проходит через точку отрезка AN, т. е. С лежит между А и N. Следовательно (аксиома 113), N не лежит между А и С вопрекв допущению.
Мы проводим доказательство, ссылаясь лишь на аксиомы
II группы, в которых заключено всё, что нам иужио знать-о понятии «между». При этом из процесса доказательства совершенно устраняется наше наглядное представление о порядке точек на прямой
П Мы применяем аксному 11* к треугольнику АЕС и прямой BF\ так как В лежит между А и С, а/7— вие ЕС (в силу аксиомы 118), то прямая BF пересекает отрезок АЕ в некоторой течке
ПРИМЕЧАНИЯ [7—11]
405
G. Далее, применяем аксиому П4 к треугольнику BFC и прямой АЕ; так как А вне ВС (в силу аксиомы 113), а Е между С и F, то G лежит между В и F, т. е. на отрезке BF. Следовательно (в силу аксиомы 113), F лежит вие GB. Применяем далее аксиому. 1Ц к треугольнику BDG и прямой FC; так как F вне BG, а С между В и D, то FC имеет с отрезком GD некоторую общую точку Н.
[8] Применяя аксиому 114 к треугольнику AGD и прямой ЕН.
[9] Применяя аксиому 114 к треугольнику AGD и прямой CF, получаем, что точка Н лежит на отрезке GD. Прямая FH пересекает сторону GD и не пересекает стороны GB треугольника BGD, как уже доказано. Следовательно, она пересекает сторону BD, и С попадает между В и D.
[10] Фактически последний случай вообще не может иметь места. Из расположений: 1) Q между Р и R, 2) 5 между Р и R, 3) Р между Q и 5, вытекает противоречие, так как нз 1) и 3) следует, согласно утверждению 1, что Р и Q лежат между S и /?, а это противоречит 2).
[11] Дадим доказательство теоремы 6, уточнив несколько
её формулировку: всякие п точек, данные иа прямой, можно занумеровать числами 1, 2, , л так, что какая-нибудь из этих
точек лежит между двумя другими тогда и только тогда, когда её номер имеет промежуточное значение между номерами двух других точек.
Для п — 4 теорема доказана (теорема 5). Чтобы применить математическую индукцию, докажем теорему для произвольного значения п, предполагая, что для п — 1 она доказана.
1. Из данных п точек всегда можно выделить две точки, между которыми лежат остальные п — 2 точки. В самом деле, выделим из данных п точек две точки А, С, между которыми лежит наибольшее возможное число остальных точек. Мы утверждаем, что тогда все остальные п — 2 точки лежат между А и С.
Допустим противное; пусть точка D из числа тех же п точек лежит вие АС. В силу теоремы 4 либо А лежит между С и D, либо С'между А п D. Допустим для определённости последнее. Тогда, в силу пункта 2 в доказательстве теоремы 5, всякая точка В, лежащая между А и С, лежит и между А и D. В результате между А и D лежат все точки, лежащие между А и С, и кроме того точка С. Вопреки нашему выбору точек А и С оказалось, что между А и D лежит ббльшее количество точек из числа данных точек, чем между А и С.
Это противоречие доказывает наше утверждение.
2. Из числа данных п точек выделим точки А, С, заключающие между собой все остальные. Мы утверждаем, что если В и
406
ПРИМЕЧАНИЯ [11—13]
D— какне-тодве точки из числа остальных, то А и, С лежат вне BD. Действительно, по теореме 5 можно указать определённый порядок для рассматриваемых точек, причём в нашем случае этот порядок (с точностью до обращения) может быть только ABDC или ADBC, так как В и D лежат между А и С. В обоих случаях А и С лежат вне BD.
3. Пусть А и С — две точки из числа данных к точек, заключающие между собой все остальные. Так как теорема 6 предполагается доказанной для п—1, то мы можем занумеровать все данные точки, исключая С, удовлетворив требованиям
