Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Объект нашего мышления мы будем называть мыслимой вещью или, короче, вещью и обозначать знаком.
В основу наших исследований мы кладём сначала мыслимую вещь 1 (единицу). Соединение этой вещи с самой собой, по два, по три или по нескольку раз, как-то:
11, 111, 1111,
мы будем называть к о м б и н а ц и е й вещи 1 с самой собою; точно так же любые комбинации этих комбинаций, как-то:
(1) <11), (11) (11) (11), ((1) (11)) (11), ((111) (1)) (1),
также называются комбинациями той же вещи 1 с самой собою. Эти комбинации опять-таки будут называться просто вещами, а положенная в основу мыслимая вещь 1 будет называться простой вещью.
326
ДОБАВЛЕНИЕ VII
Теперь мы к этому присоединяем другую простую мыслимую вещь и обозначаем её символом == (равно). После этого мы создаём комбинации этих двух мыслимых вещей, как-то:
1=', 11=,..., (i)(=i) (===), ((H) (1) (=)) (==). i=i, (ii) = (1) (1).
Мы будем говорить, что комбинация а простых вещей
1,=:отл и чается от комбинации Ъ этих же простых вещей, если они где-либо отклоняются друг от друга по способу комбинирования, по последовательности комбинаций или по выбору входящих в них вещей 1,.= , т. е. если комбинации а и Ъ не тождественны друг другу.
Представим себе теперь, что комбинации этих двух простых вещей разбиты на два класса: на класс существующих комбинаций и на класс несуществующих. Каждая вещь, принадлежащая к классу существующих, отличается от любой вещи, принадлежащей к классу несуществующих. Каждая комбинация двух простых вещей 1, = принадлежит к одному из этих двух классов.
Если а является комбинацией двух положенных иами в основу вещей 1, =, то мы будем обозначать тоже через а и высказывание: «а принадлежит к классу существующих вещей», а через а — высказывание: «а
принадлежит к классу несуществующих вещей». Мы будем говорить, что утверждение аистинно, если а принадлежит к классу существующих; напротив, мы будем называть а истинным, если а принадлежит к классу несуществующих. Утверждения а и а образуют противоречие.
Совокупность Двух высказываний А и В, которую мы будем обозначать
А | В
и которая словесно выражается так: «из А следует В» или «если А истинно, то В также истинно», мы будем также называть высказыванием, называя при этом А посылкой, а В —заключением.
ОВ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
327
Посылка и заключение сами могут состоять опять-такн из нескольких высказываний, как-то: Л,, Л2 и, соответственно, Blt В2, В3 и т. д.; мы это будем обозначать так:
Л, и А2 \Вг л В2 л В3*) и выражать словами: «из Аг и Л2 следует В, либо В2, либо В5у> и т. д.
Используя знак л («либо»), можно было бы, так как отрицание нами уже было введено, устранить зиак |; однако я использую его в этом докладе исключительно для того, чтобы возможно ближе подойти к обычной речи.
Под А,, Л2, ... мы будем понимать те высказывания, которые, кратко выражаясь, возникают из высказывания А (х) путём подстановки на место «произвольного» х мыслимых вещей 1,= и их комбинаций. В таком случае высказывания
Л, л Л2 л Л3,... и, соответственно, Л, и Л2 и Л3,... мы будем записывать следующим образом:
Л (jcW), словесно: «по крайней мере для одного х» и, сооответственно:
Л (*<“>), словесно: «для каждого отдельного х».
В этой записи мы усматриваем только сокращённый способ письма.
Из положенных нами в основу двух вещей 1, = мы создадим следующие высказывания:
1. х = х,
2. {х=у и w (х)} | w (у).
При этом х (в смысле jcM) может означать каждую из двух положенных в основу мыслимых вещей и каждую комбинацию этих последних; у (в смысле у№>) точно так же может быть каждой из этих вещей и каждой их комбинацией, a w(x) — «произвольная» комбинация, содержащая «произвольное» х (в смысле jcM); 2-е высказывание словами выражается так: из х=у и w {х) следует w{y).
Высказывания 1 и 2 образуют определение понятия = (равно) и называются также аксиомами.
•) л —от слова «либо» (у Гильберта о. — от слова «Oder»).
328
ДОБАВЛЕНИЕ VII
Если в аксиомы 1, 2 вместо произвольных х и у подставить простые вещи 1, = или их отдельные комбинации, то получатся отдельные высказывания, которые называются следствиями этих аксиом. Будем рассматривать последовательность некоторых выводов такого рода, что посылка последующего вывода в этой последовательности тождественна с заключением предшествующего ему вывода Если мы теперь примем в качестве посылок — посылки предшествующих выводов, а в качестве заключения — заключение последнего вывода, то мы получим новое высказывание, которое может быть опять-таки названо следствием аксиом. Продолжая делать заключения этим методом, мы можем получать и дальнейшие следствия.
Выберем теперь из этих выводов те, которые имеют простую форму высказывания а (утверждения без посылки), и обьединим все возникающие таким образом вещи а в класс существующих, в то время как отличающиеся от них вещи принадлежат к классу несуществующих. Мы убеждаемся, что из высказываний 1 и 2 всегда получаются следствия только вида а —а, где а есть некоторая комбинация вещей 1, = . Аксиомы 1 и 2, со своей стороны, выполняются в смысле указанного разбиения вещей на два класса, т. е. являются истинными высказываниями; вследствие этого свойства аксиом 1 и 2 мы назовём определяемое ими понятие = (равно) непротиворечивым понятием.
