Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 103

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 169 >> Следующая

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ

323

JI. Кронекер, как известно, усматривал в понятии целого числа коренной .фундамент арифметики; он составил себе мнение, что целое число, н притом как общее понятие (значение параметра), должно существовать прямо и непосредственно; это мешало ему познать, что понятие целого числа нуждается в обосновании и может быть обосновано. Поскольку это так, я позволю себе назвать его догматиком: он воспринимает целое число с его существенными свойствами как догму, и затем уже не оглядывается назад.

Г. Гельмгольц представляет точку зрения эмпирика!; однако точка зрения чистого опыта опровергается, как мне кажется, указанием на то, что из опыта, т. е. посредством экспериментов, никогда нельзя притти к заключению о возможности ияи существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно велико, всё же не превосходит некоторого конечного предела.

Э. Б. Кристоффеля и всех тех противников Кро-некера, которые под влиянием правильного чувства, подсказывавшего им, что без понятия иррационального числа весь анализ оказывается осуждённым иа бесплодие, пытались спасти существование иррационального числа путём отыскания «положительных» свойств этого понятия или другими аналогичными способами, — я позволю себе назвать оппортунистами. Однако опровержение точки зрения Кронекера, по моему мнению, ими, по сути дела, не было достигнуто. -

Из учёных, которые глубже проникли в существо понятия «целое число», я упомяну следующих:

Ж. Фреге ставит себе задачу обосновать законы арифметики средствами логики, понимая эту последнюю в обычном смысле. Его заслугой является правильное понимание существенных свойств понятия «целое число», а также значение полной индукции.

Но, проводя последовательно свою точку зрения, он среди прочих положений принимает и тот основной закон, согласно которому понятие (множество) определено и может быть непосредственно применено, если только 21*
324

ДОБАВЛЕНИЕ VII

относительно каждого объекта известно, подпадает ли он под это понятие или нет: при этом он не налагает

никаких ограничений на понятие «каждый» и, таким образом, оказывается под ударами тех теоретико-множе-ственных парадоксов, которые заключаются, например, в понятии множества всех множеств и которые показывают, как мне кажется, что толкования и средства исследования логики, понятые в обычном смысле, не в состоянии удовлетворить тем строгим требованиям, которые ставит теория множеств. Устранение подобных противоречий и объяснение этих парадоксов следует с самого начала рассматривать как главную цель при исследованиях, касающихся понятия числа.

Р. Дедекинд ясно осознал те математические трудности, которые встречаются при обосновании понятия числа, и весьма проницательно начал с построения- теории целого числа. Всё же его метод я позволю себе постольку назвать трансцендентальным, поскольку он доказывает существование бесконечного путём, основная идея которого используется таким же образом и философами; этот путь я, однако, не могу признать удобопроходимым и надёжным, так как при этом приходится пользоваться понятием совокупности всех вещей, а в этом понятии кроется неизбежное противоречие.

Г. Кантор ^чувствовал упомянутое противоречие, и это его чувство нашло своё выражение в том, что он различал «консистентные» и «неконсистентные» множества. Но так как Кантор не установил, по моему мнению, никаких строгих критериев для этого различия, то я его точку зрения по этому пункту должен характеризовать как оставляющую ещё широкое поле для субъективного мнения и не дающую поэтому никакой объективной убе-реиности.

Я придерживаюсь того мнения, что все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно притти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию понятия числа и притом с помощью метода, который я называю аксиоматическим', основную его идею я
ОВ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ

325

хотел бы обрисовать в данном докладе; строгое и последовательное проведение и развитие этого метода я оставляю на будущее.

Обычно считают арифметику частью логики и при обосновании арифметики ббльшей частью предполагают традиционные оснопные идеи логики известными. Однако, внимательно присматриваясь, мы замечаем, что при обычном изложении законов логики применяются уже некоторые Основные понятия арифметики, как-то: понятие множества, частично понятие числа, особенно в смысле количества. Мы попадаем, таким образом, в порочный круг, а потому для избежания парадоксов необходимо в некоторой части одновременное развитие и законов логики, и законов арифметики.

Вследствие краткости доклада я могу только наметить то, как я представляю себе это совместное построение. Поэтому я прошу меня извинить, если мне удастся дать вам только приблизительное представление о том, в каком направлении продвигаются мои исследования. Для облегчения понимания я буду пользоваться обычным «словесным» языком и выраженными с его помощью законами логики более широко, чем это желательно при точном построении.
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed