Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Моментными функциями случайной функции |(6), 0е0, называются функции
...,.(в„ е2.....в,) = М[Е(в|)]''[|(в!)]'1 ...[1(0,)]''
/*>0 (6 = 1,2.....S),
если математическое ожидание в правой части равенства имеет смысл при всех 0, е 0, i = 1, 2, ..., s. Величина q = ji + /2 +’ называется порядком моментной функции. Определение. Случайная функция ?(0), 6^©. принадлежит классу 2’р(0) (|(0)е 2’р(0)), если М)|(0)|г’ < оо для любого Ое0.
Легко заметить, что если ^(0)е2’р(0), то моментные функции порядка q конечны для всех q р.
Действительно, из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим:
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
17
следует
п I ё т {k=п |6 (е,г) |? ^ < ?т(9ft) ^=?h'¦
k=i fe=i <!=i й-i
Воспользовавшись неравенством Иенсена М/(?) ^/(М?), имеющим место для любой непрерывной выпуклой функции, получим
мПи(е4)|'*<м i<<?^-(Mis(0fc) |РЯ
ft=i 6=1 fe=i
откуда следует доказываемое.
Если известны характеристические функции конечномерных распределений, то моментные функции с целочисленными индексами могут быть найдены с помощью дифференцирования. Действительно, если ?(9)е 3?Р{@), то
т.
7,..../в(0:........0*) = (-<')
при q ^ р (q = ji + /2 + . . • + /s). Доказательство этой формулы вытекает из возможности дифференцирования по мь ...
us соотношения ф0 _ _ в (ы,, = Me 1 под
знаком математического ожидания. В ряде случаев приходится пользоваться обратным утверждением, но последнее имеет место не во всех случаях. Но оно справедливо для моментов с четными индексами.
Кроме моментных функций, часто рассматривают центральные моментные функции
- М ([| (0,) - тх (В,)]'1 IS (02) - «, (02)]/а ... К (0S) - пц (0,)]'*), (8)
которые являются моментными функциями центрированной случайной функции ?i(0)=?(0)—т^©), имеющей при любом 0е0 математическое ожидание, равное 0.
Среди моментных функций особое значение имеют функции первых двух порядков:
/rt(0) = /tti(0) = Mg(0), (9)
R (0U 02) - т{1 (01, 02) = М 6 (0i) - т (0JJ [| (02) - т (0а)]. (10)
18
СЛУЧАЙНЫЕ процессы в широком смысле
[ГЛ. г
Функция т(0) называется средним значением, a R(di, 02) — корреляционной функцией. При 01 = 02 = 0 корреляционная функция дает дисперсию сг2(0) величины ?(0), R(Q, 0)=<т2(0). Величину
называют коэффициентом корреляции случайных величин |(0i)
Если §(0i) и ?(02) независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное, вообще говоря, неверно. Все же в важном частном случае, когда случайные величины |(0i) и 1(02) имеют совместное нормальное распределение, из равенства 0 коэффициента корреляции или, что то же самое, корреляционной функции /?(0ь 02) следует, что величины ?(00 и 1 (Эг) независимы. Две случайные величины S, т] с конечными моментами второго порядка, удовлетворяющие условию
называются некоррелированными.
В общем случае коэффициент корреляции пары случайных величин является мерой линейной связи между ними, т. е. коэффициент корреляции показывает, с какой точностью одна из случайных величин может быть линейно выражена через вторую.
Часто рассматривают комплекснозначные случайные функции ?(0). Их можно представить в виде ?(0) = §(0) + trj (0) и рассматривать как двумерные векторные случайные функции.
Для комплекснозначной функции соотношение ^(0)е272(В) означает, что М|?(0) |2< оо, 0е0, т. е. что |(0)е272(©) и т](0)<= 2г(&).
Корреляционная функция комплексной случайной функции определяется равенством
где черта над скобкой обозначает переход к комплексно сопряженной величине.
Отметим некоторые свойства корреляционных функций:
1) R(Q, 0)^0, причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда ?(0) с вероятностью 1 постоянна;
or(ei)ar(0*) V/? (0W 00 /г (0я. ва)
R (6, ег)
и §(02).
#6, л = М [(I — Ml) (n — Mr])] = о,
R (01, 02) = М ([? (00 - MS (0,)] К (в*) - М? (02)]),
2)
3)
я(е„еа)-=т, 0i);
(П)
(12)
$ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 19
4) каковы бы ни были п, 0ь 02, ..., 0П и комплексные числа Ль Яг, • • •, Кп,
? R(QhQk)Kilk> 0. (13)
/, ft=i
Первые два утверждения очевидны; 3) получается как следствие неравенства Коши — Буняковского (М|?т1|)2^М|||2М|т]|2. Для доказательства 4) достаточно заметить, что
г 2
/=1
>0.
/, й=1 /, А=1
Отметим, что свойства 1), 2) и 3) являются следствием свойства 4).
