Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
14
случайные промессы в широком смысле
[ГЛ. I
?](0), Ыв)> • 1т(0), проще говорить об одной векторной функции 1(0), компонентами которой служат случайные функции li(9), 12(0), lm(0). Тогда предыдущее определение
почти не нуждается в изменениях. Роль распределения последовательности случайных величин (1) играет совместная функция распределения последовательности векторов l(9i), 1(02), ... ..., 1(0„), т. е. функция пт переменных
^егег, ...,0п(л:п> *12> •••> хпт)~
~ Р (El (0j) < XU> 1г (0l) < *12, • • • » In (0ш) < xt!iti}'
В дальнейшем множество 0 будет главным образом множеством действительных чисел и переменная 0 интерпретируется как время t, В этом случае множество 0 будем обозначать буквой ?Г и понимать под этим конечный или бесконечный промежуток (замкнутый, открытый или полуоткрытый). Рассматривают также случаи, когда ?Г состоит из всех неотрицательных или из всех действительных целых чисел. Тогда мы имеем последовательность случайных величин (векторов) 1(&) (k =. = 0,1,2, ... или k = 0, ±1,±2, ...) и называем такой процесс случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Процессы с дискретным временем играют важную роль в общей теории случайных процессов. Во-первых, имеется много теоретико-вероятностных задач, в которых время, по существу, входит дискретно. Во-вторых, изучение процессов с дискретным временем в некоторых отношениях требует более простых средств и в то’ же время в ряде случаев такими процессами можно аппроксимировать процессы с непрерывным временем.
В настоящем параграфе мы ограничимся преимущественно случайными функциями, принимающими действительные значения. Переход к векторному случаю вызывает только некоторые технические усложнения.
Конечномерные функции распределения однозначно определяют семейство мер qe е 0 (В), п= 1,2.............04е0, где
В—борелевское множество в Мп. При этом значение^ 0 (В)
дает вероятность того, что измерение в некотором эксперименте величин l(0i),l(02), ..., 1(0П) Даст последовательность, попадающую во множество В:
ч,....„да-рдев).
Меру qe 0 (fi) называют распределением последовательности 1(0!).....1(0п).
Явные выражения для конечномерных функций распределения случайного процесса часто бывают сложными и неудоб-
5 п ОПРЕДЕЛЕНИЯ IS
ными для применений. Поэтому, в ряде случаев предпочитают задавать конечномерные распределения их плотностями или характеристическими функциями.
Если /0 0..........хп)— плотность распределения функции распределения Fe^.....е (я,......хп), то
*1 ХП
^0,__ вп (Х1 > • • • > хп) — ^ 5 ^е1’ •••> (^1> • • • ’ Уп)^У1 • * ' dyn>
— оо —оо
Отсюда, в частности, вытекает формула /в,.... e„Oi- •••> хп) =
оо оо
— 5 ••• \ ^v-^n+v-^n+p^1’ "',Xn’yi...........Ур)аУ\ ¦ ¦ • >йУр>
— оо — оо
(5)
которую можно рассматривать как эквивалент условия согласованности (4) конечномерных распределений. Меры qe _ 0 (В)
связаны с плотностями соотношением
*?e,,в ...,ьп(У\> • • •» Уп) dyv ..., dyn.
в
Характеристическая функция конечномерного распределения последовательности (1) определяется формулой
Фе,,е„ («1......ип) = м ехР {1 2 I (0*) Ч } -
где М — символ математического ожидания, иь ..., ип — вещественные числа. Если существуют плотности конечномерных распределений, то
Фе,...e„(wi’ '' ип):
= J ... ^ * ft/0i>...,en(*,, .... xn)dXl...dxn, (6)
П
1Т,хкик
т. е. характеристическая функция является преобразованием Фурье плотности распределения.
Возможность задания конечномерных распределений с помощью их характеристических функций связана с тем, что последние однозначно определяют функции распределения. Например, если существуют плотности конечномерных распредв'
]g СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
лений и они удовлетворяют некоторым аналитическим условиям, подробно рассматриваемым в теории интеграла Фурье, то плотность /0 >е (х{, хп) можно восстановить по характеристическим функциям с помощью формулы Фурье:
/е,, ...,en(xi’ • • хп)~
П
1 г г - Е xkuk ~ (2пУГ J ‘ ‘ ' J 1 ^е𠦦;вп(и1> • • • ’ ип) » • • • > dun . (7)
3in
Подробнее о характеристических функциях см., например, В. Феллер [2] или П. Л. Хеннекен и А. Тортра [1].
Корреляционные функции. Исчерпывающую характеристику случайной функции в широком смысле дает семейство совместных распределений (2). Однако во многих случаях представляет интерес более сжатая характеристика распределений, отражающая некоторые важные свойства случайной функции. Кроме того, решение многих теоретико-вероятностных задач зависит только от небольшого числа параметров, характеризующих входящие в задачу распределения. Наиболее важными числовыми характеристиками распределений являются их моменты. В теории случайных функций роль моментов распределений играют моментные функции.
