Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Данное определение случайной функции нуждается в уточнении. Ради простоты будем говорить о случайной функции, принимающей действительные значения. Прежде всего надо выяснить, какой смысл вкладывается в термин «семейство случайных величин, зависящих от параметра 0». Напомним, что в соответствии с принципами теории вероятностей конечная последовательность случайных величин gi, g2. •••. In полностью характеризуется их совместной функцией распределения
F(xux2, ..., дс„) = Р{|, <*,, & <х2, • ... 1п<хп}-При переходе к теоретико-вероятностному описанию случайной
12
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
функции возникает вопрос: как описать взаимные связи
бесконечного числа случайных величин — значений случайной функции?
Проще всего считать случайную функцию ?(0) заданной, если определены всевозможные теоретико-вероятностные соотношения между любым конечным набором значений случайных величин
ё (00, i (02), 1(0,г), 0<е0, (1)
г'= 1,2, . .., я; я = 1,2, ..
т. е. если даны соответствующие функции распределения. С этой точки зрения случайная функция ?(0), 6^®, определяется семейством распределений
enOi>-V •••> хп)> 0<е0> (2)
г = 1,2, ..., п; я = 1,2, ..
и каждая функция Fe в ^ _ е (х{, х2, ..., хп) интерпретируется
как совместная функция распределения последовательности случайных величин (1).
Разумеется, для того чтобы такая интерпретация была возможной, семейство распределений (2) не может быть совершенно произвольным. Оно должно удовлетворять следующим очевидным условиям, которые называют условиями согласованности семейства распределений (2):
F*ve2 Wm...........en+p(Xi’X2’ хп’ + °°’ +°°)==
“ ^"е,.е2, ...,en(xi> х2> •••’ хп)’ (3)’
....XV ¦ ¦ •> Xn) = Fewbh.........°«„(V Xh’ • • •’ *0’ ^
где h, ii, in — любая перестановка индексов 1, 2, ..., п.
Необходимость этих условий обосновывается следующими соотношениями:
^е,,е2 e„,en+i> • xv хп’ “>“ °°> •••» + °°) ==
= р {I (00 <xui (е2) (0„) < хя,
l(0n+1)< 00. •••. ё(0„+р) < °°} ==
= P{6(0i)<*„g(e2)<*2. •••> ё(0«)<=
= ^'е1,е2, ...,en(xi’ х2’ •••> хп)>
Fev е2, ...,en(xi>x2’ •••> хп)~
= Р{1 (0j)< Jtj, %{%)<х2, ..., | (8га) < хп) —
B=p{i(ei1)<\.l(0tj<V •••> Ч0О<;Ч} =
Я=Р\Л3 *'»)•
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
Вышесказанное приводит к следующему определению.
Определение. Случайной функцией | (0), заданной на множестве 0 (0е0) и принимающей действительные значения, называют семейство распределений (2), удовлетворяющее условиям согласованности (3), (4).
Набор функций Fq 0 _ е (х{, х9, ..., хп^ называется конечномерными распределениями случайной функции.
Приведенное выше определение случайной функции привлекает своей элементарностью и достаточно в тех случаях, когда нас интересуют значения случайных величин 1(0) на конечном множестве значений аргумента 0. С другой стороны, существенный недостаток этого определения состоит в том, что оно не дает возможности рассматривать случайную функцию в целом, т. е. рассматривать одновременно совокупность всех ее значений. Между тем во многих экспериментах наблюдаемая выборочная функция записывается с помощью надлежащего прибора в виде графика некоторой кривой. Приведенное же определение случайной функции не только не дает возможности строить график этой функции, ко даже не дает возможности ставить вопросы о таких функциональных свойствах функций 1(0), как их непрерывность, дифференцируемость и т. п. Непосредственно нельзя ставить также вопрос о вероятности события, состоящего в том, что для всех 0G0 выполняется неравенство а < g(0) < Ь, а < Ь.
Другие, более гибкие определения случайной функции возникают, если использовать аксиоматический подход к теории вероятностей. Каждая теоретико-вероятностная схема описывает результаты некоторого эксперимента со случайными исходами. Если результат эксперимента описывается одним числом или конечной последовательностью чисел, то говорят, что наблюдается случайная величина или случайный вектор. Если же результат эксперимента описывается некоторой функцией, то мы имеем случайную функцию. Таким образом, случайная функция задается произвольной теоретико-вероятностной схемой^ описывающей эксперименты, результатами которых служат случайные функции. Более точный разбор этого определения будет дан в четвертой главе. Определение случайной функции, принятое в настоящем параграфе, условимся называть определением случайной функции в широком смысле.
До сих пор речь шла об одной случайной функции. При решении многих задач приходится иметь дело с несколькими различными случайными функциями. Для того чтобы над ними можно было производить математические операции, недостаточно, чтобы каждая из этих функций была задана в отдельности. Вместо того чтобы говорить о последовательности функций
